线性代数习题答案.doc

线性代数习题答案 线性代数 线性代数第一章没有答案 习 题 二 3(设是互异的实数，证明: 的充要条件是. 证明: 又 是互异的实数 6(设为可逆矩阵，与是阶方阵，且满足，证明:和 都是可逆矩阵，求. 证明:可逆，则也可逆. 说明是可逆的，且有， 同时有，所以也是可逆的. 7(若，是阶方阵，且可逆，则也可逆，且 . 证明:与关系式应满足 于是 说明也是可逆的，且. 8(设，是阶方阵，已知可逆，且，求证: 可逆. 证明:由于可逆，则有， 即 即 又 ，则 ，故可逆 则 从上式可知 是的逆阵， 故是可逆的. 9(设为阶正交矩阵，求证:. 证明:由为正交矩阵，则 即 又 为正交矩阵，则 于是 10(设，是阶方阵，证明:. 证明:由矩阵的初等变换可得 由于为偶数，所以. 14(假设为阶可逆方阵，证明: ? ? ? 证明: ? ? 则 又 ? 又 即 是可逆的. 又 即 16(设矩阵, 证明: 时, (为三阶单位矩阵) 证明: 通过计算可得 , 由数学归纳法,假设当()时命题成立,即 则当, 故命题成立. 18(已知，是阶方阵，且满足，证明: . 证明:由题意可知 同理可得 19(设是阶方阵，，如果，证明: . 证明:，则可逆. 两式相减可得 20(设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数，记分块矩阵 ? 计算并化简. ? 证明:矩阵可逆的充要条件是. [解答] ? 因为 所以 原式 ? 又 即 又，，可逆，则，又，所以 为矩阵可逆的充要条件. 习 题 三 2(设有三维列向量， 问为何值时， ? 可由线性表示，且表达式唯一; ? 可由 线性表示，但表达式不唯一; ? 不能由线性表示; [解答] 对增广矩阵作初等行变换有 ? 当时，，有唯一的表达式. ? 当时，，表达式不唯一. ? 当时，，不能表示出来. 4(已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明: ? 如果存在等式，则这些系数或者全为零，或者全不 为零. 证明: ? 若，则，又任意 个向量线性无关，故必有. ? 若，则必全不为零，若存在，则向量 线性无关，与题设矛盾. ? 如果存在两个等式，，其中，则 [证明] 将等式两边分别乘上后得 两式相减可得 ，又线性相关， 则 ，即 . 5(设向量线性无关，问常数满足什么条件时，， 线性相关. [解答] ，又线性 无关，所以向量组线性相关的充要条件是 ，即当时，向量组是线性相关的. 6(设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且 ，证明:向量组是线性相关的. [证明] 设有实数使得， 又，，则()等式两边同乘有 即，又，则有,同理可证， 由定义知向量组是线性相关的. 习 题 四 3(设有线性方程组，问为何值时，方程组有唯一解,有无 穷多组解,在有无穷多组解时，求出一般解. [解答] 对增广矩阵作初等行变换，有 当，，方程组有唯一解. 当，，方程组无解. 当，，方程有无穷解，此时，方程组变换为 解方程可得 6(已知及 ? 为何值时，不能表示成的线性组合. ? 为何值时，有的唯一的线性表示，并写出该表示式. [解答] 对增广矩阵作初等行变换，有 ? 当时，对增广矩阵继续变形可得 为任何值时，，即不能表示成的线性组合. ? 当时，有唯一解，此时 ，有唯一的表达 式，即 7(已知方程组与方程组同解，试确定 之值. [解答] 由题意可知 是等价向量组，有 习 题 五 4(设均是阶矩阵，且秩，证明:有公共的特征向量. 证明:因，所以，且，即， 故有公共的特征值. 设，且是的基础解系， 也是对应于的特征向量. 是的基础解系，也是对应于的特征向量. 因,故， 所以向量组，必线性相关， 故存在不全为零的数使得 令， 即为对应的特征向量. 其中不全为零，线性无关，故， 又，分别是对应的特征向量， 故是对应于的公共的特征向量. 5(设三阶矩阵满足，其中列向量， ，试求矩阵. [解答] 由得 6(设矩阵与相似，其中 ? 求和的值; ? 求可逆矩阵，使得 [解答] ? 为对角矩阵，相似，故特征值为，， 得的特征值为，，，比较可得，. ? 当特征值为时，特征向量为 时，特征向量为， 所以 7(设矩阵，矩阵，其中为实数，为单位矩阵，并 求对角矩阵，使与相似，并求为何值时，为正定矩阵. [解答] 的特征多项式为 所以的特征值为. 令是的特征向量，则 ，又 ，两式相加得 为是实矩阵，故对应的特征值为 由，所求对角阵 当，且时，对应的特征值全为正，故为正定矩阵. 8(设阶矩阵的特征值为，试求. [解答]