球面三角形的面积与欧拉公式.docx

PAGE PAGE 10 §6 球面三角形的面积与欧拉公式 问题提出 如何计算球面三角形的面积？球面三角形面积与平面三角形面积有什么区别？ 如何利用球面三角形面积公式证明球面多面体的欧拉公式？ 如何利用球面知识证明简单多面体的欧拉公式？ 球面二角形与三角形的面积 我们知道，若球面半径为 R，则球面面积为S ? 4? R2 ，现在考虑球面上的一个小区域：球面上由两个大圆的半周所围成的较小部分叫做一个球面二角形。 P O O A B S P 如图所示，大圆半周PAP? 和PBP? 所围成的阴影部分就是一个球面二角形。显然 P 和P?是对径点，大圆半周PAP 和PBP 称为球面二角 形的边。球面角?P ? ?P? 称为球面二角形的夹角。如果大圆弧AB 以P 和P?为极点， AB 所对的球心角为? ，则?P ? ?P? =? 。 例1 计算地球上一个时区所占有的面积。 OA O A B S 解 如图所示，设O 为地心，N、S 为北极点和南极点，A、 B 为赤道上两点，且?AOB ? 15 ，地球半径为R=6400km， 根据地理知识，地球共分为 24 个时区，一个时区跨越地球表面 15 ，所以由经线 NAS 与经线 NBS 围成的二角形就是一个时区，它所 占面积为地球表面积的 15 ? 1 ， 360 24 即 ? 即 ? R2 ? ?? ? 64002 ?85km2 24 6 如何计算一般球面二角形的面积？ 二角形的夹角? ，就是平面 PA P?与PB P?所夹的二面角的平面角； 这个二角形可以看成半个大圆PAP? 绕直径 P P?旋转 ? 角所生成； 球面二角形的面积与其夹角成比例。 设这个二角形得面积为U ，则 U ? 4? ? 2? 即 U ? 2? 抽象概括：球面上，夹角为? 的二角形的面积为U ? 2? 。如何计算球面三角形的面积？ 设S ( ABC ) 表示球面三角形ABC 的面积， 对球面三角形ABC，分别画出三条边所在的大圆。 设A、B、C 的对径点分别是A?、B?、C? ，则 S ( ABC) ? S ( A?BC) ? 2?A 球面三角形 ABC +球面三角形 A?BC +球面三角形 ABC? +球面三角形 A?BC? 构成半个球面，所以 S ( ABC ) + S ( A?BC) + S ( ABC?) + S ( A?BC?) = 2? (1) 又因为 ? S ( ABC) ? S ( A?BC) ? 2?A ?? S ( ABC) ? S ( AB?C) ? 2?B ? ??S ( ABC) ? S ( ABC?) ? 2?C ?  (2) 所以(2) ? (1)得到 2S ( ABC) ? 2( A ? B ? C) ? 2? 抽象概括 定理 6.1 球面三角形的面积等于其内角和减去? 。球面三角形的三个内角和大于? 。 即球面三角形 ABC 的面积S ? ?A ?? B ?? C ?? ，其中?A, ?B, ?C 是球面三角形ABC 的内角。 例2 计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和的面积。 N B C S 解 根据地理知识，北京位于北纬 39°56′、东经 116°20′， 上海位于北纬 31°14′、东经 121°29′，重庆位于北纬 29°30′、东经 106°30′的经纬度，地球半径为R=6400km， 如图所示，设N 为北极点，B 为北京，S 为上海，C 为重庆， 在球面三角形NBC 中， ?BNC ? 116.3 ?106.5 ? 9.8 ? 0.17 弧度， NB ? 50.1? ? R ? 0.87 ? R ? 5.6?103 km ， 180 NC ? 60.5 ? ? R ? 1.06? R ? 6.8?103 km ， 180 解球面三角形NBC，有 cos BC ? ?cos0.87 ???cos1.06?? ?sin 0.87?? ?sin1.06 ??cos0.17 ?， R 即 BC ? 0.24R ? 1.5?103 km ， 同理 BS ? 0.16R ? 1.0 ?103 km ， CS ? 0.22R ? 1.4 ?103 km 解球面三角形BSC，有 cos0.22 ? cos0.24cos0.16 ? sin0.24sin0.16cos ?CBS ， 即 ?CBS ? 1.11弧度， 同理 ?BSC ? 1.34 弧度， ?SCB ? 0.71弧度， 所以球面三角形BSC 的面积为?1.11?1.34 ? 0.71?? ?R2 ? 7.5?105 km2 。 练习 证明：半径为 R 的球面上，夹角为 ? 的二角形的面积为 U ? 2? R2 。 证明：半径为 R 的球面上，球面三角形 ABC 的面积