数论50题解析版.docVIP

PAGE PAGE 11 数论50道配套习题及详解 1．abc是自然数，分别除以11的余数是2、7、9.则(a+b+c)×(a-b)×(b-c)除以11的余数是__。【解析】（9+7+2）×(9-7)×(7-2)=18×2×5=180，180除以11余4. 2．（第四届华杯赛复赛第 10 题），除以3的余数是几？【解析】、、除以3，余数是0，所以只须看表达式除以3余几． 注意：如果a除以3余, b 除以3余. ，那 a×b 除以3所得的余数就是内×除以3所得的余数 因为4、7除以3余1，所以、，除以3，余数也是1 . 因为5、8除以3余2，所以、除以3，余数与, 除以3的余数相同而=16 除以3余1，所以=×2除以3 余2 , =×除以3余l（=1×1） 于是除以3，所得余数与l＋4＋l＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1 . 3．（第四届“华杯赛”口试第10题，小升初选题） 八个盒子，各盒内装奶糖分别为9，17，24，28，30，31，33，44块.甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走.已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍.问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？ 【解析】 有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖的总块数是 9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216 216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1.因此甲取走的一盒中有31块奶糖. 4.算式计算结果的末两位数字是多少? 【解析】 我们只用算出的和除以100的余数,即为其末两位数字． 发现7的乘方除以100是以7,49,43,1为周期循环。 这样我们就得到一个规律除以100所得的余数,4个数一循环,依次为． 1990÷4=497……2,所以7+7×7+…+7×7×…的和除以100的余数同余． 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56． 所以算式7+7×7+…+计算结果的末两位数字是56． 5.求除以7 的余数．【分析】 同余的性质的应用．【解】 ∵ 143≡3 ( mod7 )  ∴≡ ( mod 7)  ∵≡1(mod 7)  ∴ ≡5 (mod 7) . 【评析】 这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。 6.除以10 所得的余数为多少？ 【分析】 求结果除以l0的余数即求从l 到2005 这2005 个数的个位数字是10 个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把每个加数的个位数按20 个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的． 首先计算的个位数字为M . 2005 个加数中有100 组多5 个数，100 组的个位数是M×100的个位数即O , 另外5 个数为，它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23 的个位数3. 7.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少? 【分析与解】 1,2,3,…,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456…910…15 …19202l…25…2930 记个位为第l位,十位为第2位,那么： 它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115： 它的偶数位数字和为:3+++8+6+4+2=53； 它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l的余数为7． 所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7． 即这个51位数除以11的余数是7． 8.己知：a=.问:a除以13的余数是几? 【分析与解】 因为199119911991能被13整除,而1991÷3=663……2． 有a==199119911991×1+199119911991×1+199119911991×+199119911991×1 +…+199119911991×1 所以a除以13的余数等以13的余数8． 9.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少? 【分析与解】 这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数． 1327-1133=194,1133-745=388,745-55