n维向量空间课件.pptxVIP

n维向量空间 一、向量空间的定义和例子 向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 有序数组： 其中 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n4时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了向量，一个方程 就可以用一个n+1 元向量来表示： 向量的相等：如果两个n维向量 的对应分量都相等，即 ，则 称这两个向量相等，记为 向量的和：向量 称为向量 与 的和， 记为 r=α+β。 零向量：分量全为零的n维向量： 称为零向量。 负向量：向量 称为向量 的负向 量，记为-α。 向量的数量乘积：设 ，则称向量 为向量α与数k的数量乘积， 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。 向量的加法满足以下四条运算规律： 1、交换律：α+β=β+α； 向量的数乘满足以下四条运算规律： 1、分配律： ； 2、分配律： ； 3、结合律： ； 4、有单位元 ： 。 2、结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）； 3、有零元：α+ 0 =α， ； 4、有负元：α+ = 0， 。 如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、若 ，则 。 向量可以写成： ， 也可以写成： 前者称为行向量，后者称为列向量。 列向量常写成：