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参数的点估计
例 1 某商场在决定是否接收厂家送来的一大批箱装商品时, 随机地抽取若干箱进行检验, 根据这几箱的平均次品数, 估计该批商品平均每箱的次品数. 例 2 某省在一次高考结束后, 先要对考试成绩做一个估计. 随机地抽取每科中的几包试卷进行试判. 根据判卷结果估计全体考生的总分的平均值和与平均值的偏离程度进行推断, 从而估计出当年的录取线.
参数估计是统计推断的基本内容之一. 参数估计有两种方法: 点估计与区间估计. 要估计的总体参数称为待估参数, . 假设总体分布已知, 其中有一个或多个参数未知, 利用来自总体的样本估计总体的未知参数值, 就是参数估计.
用一个估计量估计总体参数, 用这个估计量的一个观察值作为总体参数的估计值的方法称为点估计. 由这种方法得到的估计值为点估计值. 估计量 . 估计值
12.3.1 矩估计法 以样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量的方法称为矩估计法. 例 3 解
例 4 解
例 4 解
例 5 解
12.3.2 最大似然估计法 例 6 设有一批产品, 根据以往的经验知道它的产品率 p 可能是 0.1 或 0.3. 生产这批产品的厂家认为该批产品质量很好, 次品率大约为 0.1, 而收购产品的商业部门认为产品质量有问题, 次品率可能为 0.3. 现从这批产品中随机抽取 15 件, 发现有 5 件次品. 问: 生产厂家与收购部门谁的估计更可靠些 ?
解
最大似然估计的思想: 最大似然估计值 . 最大似然估计值 .
似然函数
求总体未知参数的最大似然估计值就是求似 然函数的最大值. 最大似然估计值. 最大似然估计量.
例 7 解
12.3.3 估计量的评价标准 1. 无偏性 定义 12.5 无偏估计量 .
例 8 证
定义 12.6 2. 有效性 (1) 频率是概率的最小方差无偏估计. (2) 正态总体的样本均值和样本方差 分别是总体均值与方差的最小方差无偏估计. 两个结论
小 结
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