静电屏蔽效应的理论与模拟研究.docx

? ? 静电屏蔽效应的理论与模拟研究 ? ? 黄艳清，张定宗，王友文，伍法美 (衡阳师范学院 物理与电子工程学院，湖南 衡阳 421002) 在静电屏蔽效应中，当导体壳接地，壳内电荷不影响壳外电场[3]，这是由于导体壳接地，电势为零，无穷远处电势也为零，因此壳内电荷不能在导体壳表面产生感应电荷和感应电场,从而壳内电荷不影响壳外电场，利用唯一性定理也比较容易证明(φ壳=φ无穷远=0)[4].此外，无论导体壳是否接地，壳外电场变化不会影响壳内电场[3]，虽然由高斯定理在壳内任意做高斯面，壳外电荷不影响壳内高斯面上的总电场强度通量，但不能判断壳内任意位置的电场都不受壳外电荷的影响.利用唯一性定理的证明方法[1]，可以对该结论进行证明.文献[5]利用理论和数值方法，计算了点电荷在接地导体球表面激发的感应电荷，得到静电屏蔽的实质是源电荷与感应电荷在导体球内的合电场为零.静电屏蔽的物理原理与应用在文献[6,7]中展示，但只是进行了半定量和定性的分析. 本文对导体壳的静电屏蔽效应进行了严格的理论推导和证明，并利用数值模拟方法验证了静电屏蔽效应，并计算了外电场中接地金属壳感应电荷的分布. 1 物理模型 (1) 如计算区域没有电荷，则用拉普拉斯方程描述 ?2φ=0 (2) 如果电场具有面对称、轴对称或球对称，且给定边界条件和电荷分布，则可用理论方法在直角坐标、柱坐标或球坐标系下求得电势分布，从而得到静电场[8,9]. 实际情形中，电场往往不具有对称性，但容易获得边界条件，因此可用数值方法解方程式(1)和(2)得到电势的分布，从而求得电场分布.此外，实际中也可利用特殊的实验装置展示静电场分布，从而验证静电场的理论与模拟结果的正确性[10]. 偏微分方程的通解一般包含无穷多解，需要根据边界条件确定特解. 静电势的偏微分方程式(1)和(2)，可以根据边界条件得到不同的特解，但这些特解仅相差一个常量，从而静电场唯一确定，这就是静电场的唯一性定理[1,2].下面利用唯一性定理，证明金属壳的静电屏蔽效应. 2 唯一性定理证明金属壳的静电屏蔽效应 静电屏蔽可利用高斯定理定性证明，但由电场的叠加原理，并不能直接证明壳内任意位置电场都不受壳外电荷的影响.下面利用静电场的唯一性定理，对接地金属壳壳内电荷不影响壳外电场、壳外电荷不影响壳内任意位置电场进行证明. 2.1 接地金属壳屏蔽壳内电场对壳外的影响 当金属壳接地后，壳内电荷或电场变化不影响壳外电场，可以利用唯一性定理证明此结论[4].当金属壳内电荷或电场发生变化，不会影响金属壳的电势，因为金属壳接地电势为零，利用式(1)和式(2)计算壳外电势，以无穷远处为外边界，金属壳为内边界，则内外边界的电势都为零，因此根据唯一性定理，边界条件确定后，电场也是唯一确定的.即无论壳内电荷或电场如何变化，不改变计算壳外电势的边界条件，从而无论壳内电荷或电场如何变化，都不影响壳外电场. 2.2 金属壳屏蔽壳外电场对壳内的影响 图1 导体壳(实线之间表示导体壳，q表示壳内电荷，q′表示壳外电荷，S′表示导体壳的内壁) 为了计算壳内电场，在导体壳里做虚线的闭合曲面S，曲面S以内区域为V，如图1所示.导体壳内表面S′和V′区域带电荷量分别为-q和q，这两个区域的静电势满足泊松方程[式(1)]，V内其他区域的静电势满足拉普拉斯方程[式(2)].静电场中导体壳为等势体，曲面S上的电势为常量，即 φ|S=常量 (3) 当外电荷q′或外电场发生变化时，这个常量也会发生变化，但这个常量变化不影响壳内电场，下面利用证明唯一性定理的方法进行证明[1,2]. 假设外电场发生变化时，V内电势存在两个解φ′和φ″，这两个解在存在电荷的区域(S′和V′)满足 (4) (5) 在V内没有电荷的区域满足拉普拉斯方程: ?2φ′=0,?2φ″=0 (6) 令 φ0=φ′-φ″ (7) 根据式(4)、式(5)、式(6)和式(7)，φ0在V内满足 ?2φ0=0 (8) 导体壳为等势体，φ′和φ″在导体壳上相差一个常量，因此 φ0|S=常量 (9) 式(9)中的常量不一定为零.根据式(8)和式(9)计算如下积分： (10) 在导体壳中S面上φ0|S不一定为零，但导体壳为等势体，导体壳内电势处处相等，因此导体壳内电势的梯度为零?φ0|S=0，因此式(10)左边为0.另外根据式(8)，在V内?2φ0=0，所以在式(10)中右边第1项满足 ?φ0=0 (11) 式(11)意味着两个解φ′和φ″仅相差一个常量，即 φ′-φ″=常量 (12) 从而可得两种情形下电场不变(E=-?φ′=-?φ″)，即壳外电场改变不影响壳内任意位置的电场，金属壳的静电屏蔽效应得证. 3 数值模拟金属壳的静电屏蔽效应 静电屏蔽也可以利用数值模拟验证.理论证明静电屏蔽效应，利用了无穷远处电势为零