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标准正交基 基本概念及性质 标准正交基的计算 正交矩阵 一. 概念及基本性质定义1 V中一组非零向量两两正交，则称其为正交向量组.单个非零向量所成向量组认为是正交向量组（因为在此向量组中找不到两个向量不正交）.性质1 {α1 ,α2 , ···,αm}是正交组，则α1 ,α2 , ···,αm线性无关 .证明： 设 k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm= 0, 用αi (i =1, ···, m)于该式两边作内积，即 (αi , k1α1+ k2α2 + ··· + kmαm ) = k1(αi , α1) + ··· + ki(αi , αi) + ··· + km(αi , αm) = (αi , 0) = 0 → ki(αi , αi) = 0 → 因αi≠ 0 ，得 (αi , αi) ≠ 0，故 ki = 0 (i =1, ···, m) → α1 ,α2 , ···,αm线性无关 . □dimV = n 时，V中两两正交的向量不会超过 n 个 (如平面上找不到三个两两正交的向量，空间中找不到四个两两正交的向量). 定义2 n维欧氏空间V中，n个向量的正交向量组称为V的正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基. 二 标准正交基的计算 该定理的证明过程给出了求标准正交基的方法： 三 正交矩阵