2019高考数学转化与化归思想典型运用.docx

2019 高考数学转化与化归思想典型运用 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达 到解决的一种方法。在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决， 其思维过程的形式如下图： 转化 问题 规范问题 已知理 论、方法、技巧 还原 原问题的解答 解答 转化具有多向性、层次性和重复性的特点。为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问 题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用 于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多 种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化 原则应用的重复性。 转化思想方法包含三个基本要素： 1、把什么东西转化，即转化的对象； 2、转化到何处去，即转化的目标； 3、如何进行转化，即转化的方法。转化思想方法应遵循以下五条原则： 1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。 2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或 获得某种解题的启示和依据。 3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者 转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。 4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获得解决，或证明问题的可能性。 转化思想的典例剖析 数与形的转化 例 1.若动直线 x ? a 与函数 f (x) ? sin x 和 g (x) ? cos x 的图像分别交于M，N 两点，则 MN 的最大值为 （ ） 23A．1 B． C． D．2 2 3 分析: 动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g (x) ? cos x 的图像分别交于 M，N 两点, 横坐标相同，那么 MN 就是纵坐标之差，即MN ? sin x ? cos x求最值。 解: MN ? sin x ? cos x ? sin ? x ? 2?? 2 ? ? ? 24? 最大值为 2 4 ? 评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。 新定义（运算）转化为常规知识解决 ??例 3．如图所示的韦恩图中，A、B 是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合．若 ? ? x, y ? R, A ? x | y ? 2x ? x  2 ， B ? ?y | y ? 3x ?x ? 0 ??， 则A#B 为（ ） A．?x | 0 ? x ? 2? B．?x |1 ? x ? 2? B 和C．?x | 0 ? x ? 1或x ? 2? D．?x | 0 ? x ? 1或x ? 2 B 和 分析：根据图形语言可知定义的 A#B 转化为原有的运算应该是表示为e ?A A B B?，所以需要求出 A ?? ?A B ，借助数轴求出并集与交集。 ? ? ? 解： A ? x | y ? 2x ? x  2 ? x 2x ? x2 ? 0?? ?x 0 ? x ? 2?， B ? ?y | y ? 3x ?x ? 0 ??? ?y y ? 1?， 则 A B ? ?x x ? 0?, A B ? ?x 1 ? x ? 2?，根据新运算，得A#B= e 0 1 2 x ?A B?? ?x 0 ? x ? 1或x ? 2?故选 D A B 答案：D 评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域， 以及集合的交并补的运算。解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。 例 4．若数列?a ?满足 1 1 ? d (n ? N ? , d为常数) ，则称数列?a ?为调和数列。已知数列? 1 ? 为 n a a n?1 n n x n ? ???调和数列，且 x ? ? ? ? ? 1 2 ?…+x 20 ? 200，则 x ? x ? 。 5 16 分析：根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的 定义求出前项和。 解：根据调和数列的定义知：数列?a  ?为调和数列，则 1 ? 1  ? ?? 1 ? ? d (n