高考数学例题.docx

1（10 天津）如图，在长方体 ABCD ? A B C D 中，E 、F 分别是棱BC , CC 1 1 1 1 1 上的点，CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA 1 ? 1: 2 : 4 （1）求异面直线EF 与 A D 。1 。 所成角的余弦值；（2）证明AF ? 平面 A ED ；（3）求二面角A ED ? F 1 1 的正弦值。 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间 想象能力、运算能力和推理论证能力，满分 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A 为坐标原点，设 AB ? 1,依题意得D(0,2,0) , 12 分。 F (1,2,1), A (0,0, 4) , 1 ? 3 ? 2E ?1, ,0 ? 2 ? ? （1）解：易得EF ? ? 0, 1 ,1? , A D ? (0,2, ?4) ? ? 21? ? 2 1 于是cos EF , A D ? 1 EF A D 1 EF A D 1 ? ? 3 5 所以异面直线EF 与 A D 所成角的余弦值为3 1 5 （2）证明：已知 AF ? (1,2,1) , EA ? ? ?1,? 3 , 4 ? , ED ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ? 1, 2 ,0 ? ? ? ? ? 于是 AF ·EA 1 =0，AF ·ED =0.因此，AF ? EA 1 , AF ? ED ,又EA 1 ? ED ? E 所以 AF ? 平面 A ED 1 ?(3)解：设平面EFD 的法向量u ? (x, y, z) ，则??u ? ??u  ? 1 y ? z ? 0 EF ? 0 ,即? 2 ???x ? y ???x ? y ? 0 ? 2 不妨令 X=1,可得? 。由（2）可知， ? 为平面 的一个 法向量。 u ? (1,2 ? 1） AF A ED 1 于是cos u? ,A?F = = ，从而sin u? ,A?F = 5u? ? A?F 2u? |A?F| 5 u? ? A?F 2 | | 所以二面角A 1 -ED-F 的正弦值为 53 5 方法二：（1）解：设AB=1，可得 AD=2,AA 1 =4,CF=1.CE= 1 2 链接 B C,BC ，设 B C 与 BC 交于点 M,易知 A D∥B C，由 1 1 1 1 1 1 CE = CF = 1 ,可知 EF∥BC .故?BMC 是异面直线 EF 与 A D 所成的角， CB CC 4 1 1 1 5易知 BM=CM= 1 B C= 5  ,所以cos ?BMC ? BM 2 ? CM 2 ? BC 2 ? 3  ,所以异面 2 1 2BM CM 5 直线FE 与 A D 所成角的余弦值为3 1 5 （2）证明：连接 AC，设 AC 与 DE 交点 N 因为CD ? EC ? 1 ，所以 Rt?DCE BC AB 2 Rt?CBA ，从而?CDE ? ?BCA ，又由于?CDE ? ?CED ? 90? ,所 以?BCA ? ?CED ? 90? ，故 AC⊥DE,又因为 CC ⊥DE 且CC ? AC ? C ，所 1 1 以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE. 连接 BF，同理可证 B C⊥平面 ABF,从而 AF⊥B 1 C,所以 AF⊥A D 1 1 因为DE ? A D ? D ，所以AF⊥平面A ED 1 1 (3)解：连接 A N.FN,由（2）可知 DE⊥平面ACF,又NF? 平面 ACF, A N? 1 1 平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A N,故?A NF 为二面角A -ED-F 的平面角 易知 Rt? CNE R?t CBA，所以 1 CN EC ? 1 ，又 AC ? 1 55所以 CN ? ，在 5 5 4 30BC AC 5 4 30 CF 2 ? CN 2 CF 2 ? CN 2 ? 30 在Rt A AN中 NA ? ? A A2 ? AN 2连接 A A2 ? AN 2 ,A F 在Rt?AC 5 1 1 1 5 AC 2 ? C F 21 1 114F中，A AC 2 ? C F 2 1 1 1 14 1 1 1 1 1 1 在Rt?A NF中，cos ?A NF ? A N 2 ? FN 2 ? A F 2 ? 2 。所以sin ?A NF ? 5111 1 2 A N ? FN 3 1 3 5 1 1 1 5所以二面角A -DE-F 正弦值为 5 1 3 2（浙江）已知 m ＞1，直线 m2 ，椭圆 x2 ， 分 l : x ? my ? ? 0