10证明含“ln”的不等式的一小技巧——分离出“ln”.docx

证明含“ lnx ”的不等式的一个小技巧——分离出“ lnx ” 题 1 (2010 年高考全国卷I 理科第 20(2)题)已知函数 f (x) ? (x ? 1) ln x ? x ? 1，证明： (x ? 1) f (x) ? 0 . 证法 1 可得 f ?(x) ? 1 ? ln x ? 0, ( f ?(x))? ? x ? 1 . 进而可得 f ?(x)  min x x2 ? f ?(1) ? 1 ? 0 ，所以 f (x) 是增函数. 当0 ? x ? 1时，得 f (x) ? f (1) ? 0 ，所以(x ? 1) f (x) ? 0 ；当 x ? 1 时，得 f (x) ? f (1) ? 0 ， 所以(x ? 1) f (x) ? 0 . 总之，欲证结论成立. 证 法 2 得  ? x ?1 ? ? ? ?f (x) (x 1)? ? ? ?  ， 设 g(x) ? ln x ? x ? 1 ， 得 ? x ? 1 ? x ? 1 g?(x) ? x2 ? 1 x(x ? 1)2 ? 0(x ? 0) ，所以g( x) 是增函数. 当 0 ? x ? 1 时， 得 g (x) ? g (1) ? 0, f (x) ? 0 ， 所以 (x ? 1) f (x) ? 0 ； 当 x ? 1 时， 得 g (x) ? g (1) ? 0, f (x) ? 0 ，所以(x ? 1) f (x) ? 0 . 总之，欲证结论成立. 注 本题是涉及“一个多项式”与“lnx ”的积的函数.对于这类函数，一般来说，每求一次导数，多项式的次数就降低一次，但最终的导数须化成不含“lnx ”的式子. 在证法 1 中涉及“ (x ? 1) ln x ”，所以须两次求导，才能化成不含“lnx ”的式子；在证 法 2 中涉及“1? ln x ”，所以只须一次求导，即可化成不含“lnx ”的式子. 显然证法 2 要简捷些，所以我们在解决这类问题时，要尽可能把“alnx(a 是非零常数)” 分离出来. 题 2 (2011 年高考全国新课标卷文科第 21(2) 题 ) 已知 x ? 0 且 x ? 1 ， 求证 ln x ? 1 ? ln x . x ? 1 x x ?1 ? ?证明 即证 1 ? 2 ln x ? 1 ? x ? ? 0(x ? 0 且 x ? 1 ? ? x2 ? 1 ? x ? ? ?设 f (x) ? 2 ln x ? 1 ? x(x ? 0 且 x ? 1 )，得 f ?(x) ? ?? x ?1 ?2 ? 0(x ? 0 且 x ? 1 )，得 f (x ? ? x ? x ? (0,1), (1,??) 上均是减函数. 当 0 ? x ? 1 时， 得 f (x) ? f (1) ? 0 ， 所以 ? ?f (x) ? f (1) ? 0 ，所以 1 ? 2 ln x ? 1 ? x ? ? 0 ? ? x2 ? 1 ? x ? 总之，欲证结论成立.  1 ? 2 ln x ? 1 ? x ? ? 0 ； 当 x ? 1 时， 得 ? ?x2 ? 1 ? x ? ? 注 本题若是用分析法先去分母，则须多次求导.在解答后面的四道例题时也是这样的. 题 3 (2013 年高考北京卷理科第 18 ln x (1，0)处的切线． 求 L 的方程； 题)设 L 为曲线 C：y＝ x 在点 证明：除切点(1，0)之外，曲线 C 在直线 L 的下方． 解 (1)(过程略)L 的方程为 y＝x－1. (2)即证ln x ? x ?1(当且仅当 x ? 1 时取等号)，也即证 x2 ? x ? ln x ? 0 (当且仅当 x ? 1 x 时取等号). 设 g(x) ? x2 ? x ? ln x ，可得 g?(x) ?  2x ?1 x  (x ?1)(x ? 0) . 进而可得 g(x) ? g(1) ? 0 ，所以欲证结论成立. min 注 对于第(2)问，官方所给的参考答案是： 即证ln x ? x ?1(当且仅当 x ? 1 时取等号). x ln x设 g (x) ? x ?1? ，得 g′( ln x x2－1＋ln x (x ? 0) . x x ＝ x2 当 0x1 时，x2－10，ln x0，所以 g′(x)0，得 g(x)单调递减；当 x1 时，x2－10， ln x0，所以 g′(x)0，得 g(x)单调递增． 所以 g(x) ? g(1) ? 0 ，得欲证结论成立. min 显然这种证法难度要大不少. 题 4 已知函数 f (x) ? x ln(x ?1) . x ? 2 讨论 f (x) 的单调性； (2)求证：当 x ? (1,2) ? (2,