第五章中心力场.pptVIP

3、类氢离子 以上结果对于类氢离子（He+，Li++，Be+++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e换为+Ze（Z是核所带正电荷数），而?换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为 当前第31页\共有43页\编于星期六\16点 即角动量 是守恒量。因而 也是守恒量。 第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 一、角动量守恒与径向方程 设质量为?的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 对于势能只与 r 有关而与θ,? 无关的有心力场，使用球坐标求 解较为方便。于是H可改写为： 当前第1页\共有43页\编于星期六\16点 在求解中心力场中粒子的能量本征方程时，选用 为力学量完全集是很方便的。这是因为：当选用了守恒量完全集（ ， ， ）来对态进行分类以后，属于同一个能级的诸简并态的正交性问题将自动得到保证。 能量本征方程为: 考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐标系是方便的， 此时利用 ? x z 球 坐 标 r ? y 当前第2页\共有43页\编于星期六\16点 左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。 H的本征方程 此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式： 当前第3页\共有43页\编于星期六\16点 取? : 分离变量,径向方程可写为： 当前第4页\共有43页\编于星期六\16点 径向波函数 或 的归一化条件可写成: ，（不慢于 ） 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令： 代入式得： 由于波函数要求有限，所以要求 这就是径向方程的一个定解条件。 当前第5页\共有43页\编于星期六\16点 （1）不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或?l(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级至少为2l+1重简并的。 注意： （2）在一定边界条件下求解径向方程，即可得出能量本征值E。对于非束缚态，E是连续变化的。对于束缚态，则E取离散值。 （3）在求解径向方程时，由于束缚态边界条件，将出现径向量子数nr. 当前第6页\共有43页\编于星期六\16点 二、两体问题化为单体问题 两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为： ET为体系的总能量。引入质心坐标 和相对坐标 ?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 二体运动可化为： I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。 当前第7页\共有43页\编于星期六\16点 可以证明： 其中 ——体系的总质量， ——约化质量或折合质量。 对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商。 当前第8页\共有43页\编于星期六\16点 则二粒子体系的能量本征方程可化为： 此方程可分离变量，令 得： 当前第9页\共有43页\编于星期六\16点 分解为二个本征方程: 描述质心运动，是能量为EC的自由粒子的能量本征方程，EC是质心运动能量。即质心按能量为EC的自由粒子的方式运动。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。 描述相对运动，E是相对运动能量。可以看出与单粒子能量本征方程形式上相同，只不过应把m理解为约化质量，E理解为相对运动能量。 当前第10页\共有43页\编于星期六\16点 §5.4 氢原子 量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。 当前第11页\共有43页\编于星期六\16点 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点） 这是一个两体问题。 ?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 当前第12页\共有43页\编于星期六\16点 具有一定角动量的氢原子的径向波函数 满足下列方程： 边界条件： ?为电子的约化质量， me和mp分别为电子和质子的质量。 (1) 当前第13页\共有43页\编于星期六\16点 一、氢原子的能级 氢原子的能量本征值： (2) 玻尔半径： 主量子数：n