2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛加试B卷参考答案及评分标准 (1).pdf

2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛） 暨 2021 全国高中数学联合竞赛 加试（B 卷）参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2 ． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一． （本题满分40 分）如图所示，I 是ABC 的内心，点PQ, 分别为I 在 边 AB, AC上的投影．直线PQ与ABC 的外接圆相交于点X,Y （P在X,Q之 间）．已知BI, , P, X 四点共圆，证明：C, I, QY, 四点共圆． A Q Y P X I B C ω 证明：记ABC 的外接圆为 ． 因为API AQI 90，故AP, , I,Q 四点共圆．因此 1 BPQBPIIPQ90IAQ90 BACBIC ． 2 又由BI, , P, X 四点共圆可知BPX BIX ，故 BIX BICBPX BPQ180， 因此C, I, X三点共线． ……………10 分 由BI, , P, X 共圆可知BXI BPI 90，故BX IX ，即BX CX ．因此 BACBXC90． 于是四边形APIQ是正方形，PQ垂直平分线段AI ． ……………20 分  设Y 是 AC 的中点，则由内心熟知的结论可知YAYI，因此Y 是AI 的中   垂线PQ与圆 的交点．又直线PQ与圆相交于X,Y 两点，且Y 显然不同于X ，  故Y 与Y重合．因此Y是 AC 的中点． ……………30 分 于是 B, I,Y 三点共线．因此 IYCBYCBAC90IQC ，进而 C, I, QY, 四点共圆． ……………40 分 二． （本题满分40 分）求最大的正整数n，使得存在 8 个整数x , x , x , x 1 2 3 4 和y , y , y , y ，满足： 1 2 3 4 0,1, , n  | x x | 1 ij4  | y y | 1 ij4 ．    i j   i j  解：设 符合要求，则整数 满足： 都属于