2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联赛一试+加试试题（A卷.docx

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛) 暨2022年全国高中数学联合竞赛 一试试题（A卷) 一、填空题:本大题共8小题，每小题8分,满分64分. 1.集合A=n∣ 2.设函数fx=x2+x+16x 3.一枚不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍,则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为 . 4.若复数z满足:z?3iz+i为负实数(i为虚数单位),z 5.若四棱锥P?ABCD的棱AB,BC的长均为 6.已知函数y=fx的图像既关于点1,1中心对称,又关于直线x+y=0 7.在平面直角坐标系中,椭圆Ω:x24+y2=1,P为Ω上的动点,A 8.一个单位方格的四条边中,若有两条边染了颜色i,另两条边分别染了异于i色的另两种不同颜色,则称该单位方格是“i色主导”的.如图,一个1×3方格表的表格线共含10条单位长线段,现要对这10条线段染色,每条线段染为红、黄、蓝三色之一,使得红色主导、黄色主导、蓝色主导的单位方格各有一个.这样的染色方式数为 二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分16分)若△ABC的内角A,B,C 10.(本题满分20分)给定正整数mm≥3.设正项等差数列an与正项等比数列bn满足:an的首项等于bn的公比,{}的首项等于an的公差,且am 11.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ:x23?y2=1.对平面内不在Γ上的任意一点P,记ΩP为过点P且与Γ有两个交点的直线的全体.对任意直线l∈Ωp,记M,N为l与Γ的两个交点,定义fpl 加试试题（A卷） 一.(本题满分40分)如图,在凸四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD上一点P满足∠APB=2 二.(本题满分40分)设整数nn1恰有k个互不相同的素因子,记n的所有正约数之和为σ 三.(本题满分50分)设a1 (1)存在正整数k≤100,使得a1≤a (2)a1 (3)a1 求a1 四.(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数t：将100×100的方格纸的每个小方格染为某一种颜色,若每一种颜色的小方格数目均不超过104,则存在一个1×t或