初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第22讲 园幂定理.docx

PAGE PAGE 1 第二十二讲 园幂定理 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关． 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在： 用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况； 从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式． 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例 1】 如图，PT 切⊙O 于点T，PA 交⊙O 于A、B 两点，且与直径 CT 交于点D，CD=2， AD=3，BD=6，则PB= ． 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例 2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A、B、C 三点的圆交AD 于点E，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A．3 B．4 C． 15 D． 16 4 5 思路点拨 连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例 3】 如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠ B． 求证：PA 是⊙O 的切线； 如果弦CD 交AB 于E，CD 的延长线交PA 于 F，AC=8，CE：ED=6：5， AE：BE=2： 3，求AB 的长和∠ECB 的正切值． 思路点拨 直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数 x、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与 k 的关系，建立x 或 k 的方程． 【例 4】 如图，P 是平行四边形AB 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC、BC 分别交于点 E、E，EG 是过B、F、P 三点圆的切线，G 为切点，求证：EG=DE 思路点拨 由切割线定理得 EG2=EF·EP，要证明 EG=DE，只需证明 DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中． 【例 5】 如图，以正方形ABCD 的 AB 边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF 切半圆于点E，交AB 的延长线于点F，BF＝4． 求：(1)cos∠F 的值；(2)BE 的长． 思路点拨 解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连 OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出 EF，FO 值；对于(2)，从△BE F∽△EAF， Rt△AEB 入手． 注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键， 分析图形可从以下方面入手： 多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三 角形、相似三角形． (3)将以上分析组合，寻找联系． 学力训练 如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A、B 两点，交弦CD 于点 M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则 PT 的长为 ． 如图，PAB、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则 AC：BD= ． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点 B 作⊙O 的切线交CD 于点 F，若 AB=CD=2，则CE= ． 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P， 则 BP 的长为( ) A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8 如图，⊙O 的弦 AB 平分半径 OC，交 OC 于 P 点，已知 PA、PB 的长分别为方程 222x 2 ?12x ? 24 ? 0 的两根，则此圆的直径为( ) 2 2 2 2A． 8 2 6 4 2 如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD，垂足为H，点P 是 A⌒C 上一点(点P