初三数学正多边形和圆.docx

欢迎共阅 欢迎共阅 初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识 一.本周教学内容：  正多边形和圆、弧长公式及有关计算 ［学习目标］ 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正 n 边形的半径， 边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质： （1）半径（或边心距）的比等于相似比。 （2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。 由于正 n 边形的 n 个顶点 n 等分它的外接圆，因此画正 n 边形实际就是等分圆周。 （1）画正 n 边形的步骤： 将一个圆 n 等分，顺次连接各分点。 （2）用量角器等分圆 先用量角器画一个等于 360? 的圆心角，这个角所对的弧就是圆的 1 ，然后在圆上依次截取这条弧 n n 的等弧，就得到圆的 n 等分点，连结各分点即得此圆的内接正 n 边形。 对于一些特殊的正 n 边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 圆周长公式：C ? 2? R ，其中 C 为圆周长，R 为圆的半径，把圆周长与直径的比值? 叫做圆周率。 n°的圆心角所对的弧的弧长： l ? n? R 180 n 表示 1°的圆心角的度数，不带单位。 正 n 边形的每个内角都等于 ?n ? 2?180? n ，每个外角为 360? n  ，等于中心角。 二.重点、难点： 学习重点： 正多边形和圆关系，弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。只有正五边形、正四边形对角线相等。 学习难点： 解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。 22 2例 1.正六边形两条对边之间的距离是 2，则它的边长是（） 2 2 2 32 3A. 3 B. 3 2 3 3 C. 3 D. 3 解：如图所示，BF＝2，过点 A 作 AG⊥BF 于 G，则 FG＝1 又∵∠FAG＝60° 故选 B 点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。例 2.正三角形的边心距、半径和高的比是（） A.1∶2∶3 C.1∶ 2∶3 B.1∶ 2∶ 33D.1∶2∶ 3 3 解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，AD 是高设OD ? r ，则 AO＝2r，AD＝3r ∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3故选 A 1 点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的 。通过这个定理可以 2 使问题得到解决。 例 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 、S 、S 之间的大小关系是（） 3 4 6 S ? S ? S 3 4 6 C. S ? S ? S 6 3 4 S ? S ? S 6 4 3 D. S ? S ? S 4 6 3 1 1 解析：设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a 3 ? l ，正四边形的边长为a 34 3 1 ? 4 l ，正六边形的 6边长为a ? l 6 6 故选 B 点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。例 4.如图所示，正五边形的对角线 AC 和 BE 相交于点 M，求证： （1） ME ? AB ； （2） ME 2 ? BE·BM 点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。 证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则 ∴∠BEA＝36° ? ? （2） BC ? AB ， ?? CAB ? ?BEA 又∵公共角∠ABM＝∠EBA ∴△ABM∽△EBA 例 5.已知正六边形 ABCDEF 的半径为 2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a ? 2cm 正六边形的周长l ? 6a ? 12cm 31 3 正六边形的面积S ? 6 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 3cm2 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。 例 6.已知正方形的边长为 2cm，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。解：∵正方形的边长为 2cm 2∴正方形的外接圆半径为 cm 2 ∴外接圆的外切正三角形一边上的高为3 2 cm 223∴正三角形的边长为 3 ? 3 2 2 3 sin 60? 2 ? 2 6cm 663∴正三角形的面积为 1 ? 2 ? 2 ? ? 6 3cm2 6 6 3 2 2 点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。 例 7.如图所示，已知⊙ O 1 和⊙ O 2 外切于点 P，⊙ O 1 和⊙ O 2 的半径分别为 r 和 3r，AB 为两