近世代数完整版.doc

- PAGE 19 - PAGE PAGE 16 （ ） 3、循环群的子群仍是循环群。 （ ） 4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。（ ） 5．任何群G都与其商群G/N同态。 （ ） （ ） 8．整数环Z的每个理想不一定是主理想。 （ ） 9．设环R有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1， 则R一定是体。（ ） 10．无零因子的交换环不一定是整环。 （ ） 　11．环R中所含元素的个数叫环R的特征。（ ） 2、什么是理想？3什么是体？ 四、（15分）设G是一个群，且H≤G，K≤G， 证明：H与K的交集是G的一个子群。 五、（15分）设N是群G的任一正规子群，证明：G ~ G/N 6、（15分）写出三次对称群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。 一、判断题 2．在模8剩余类环Z 8中是一个极大理想。（ ） 4．整数环Z的每个理想都是主理想。 （ ） 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、关于半群的说法不正确的是： （ ） （A）半群是带有一个代数运算的代数系统； (B) 半群的乘法一定适合结合律； (C) 半群的乘法不一定适合交换律； （D) 半群中一定有单位元。 2、设G是一个群，H是G的一个非空子集，则 H≤G的充要条件是 （ ） （A） (B) (C) (D) 3、设R是一个环，下面说法不正确的是 （ ） （A）R中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子； (B) R中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子； (C) 一个环一定有零因子； (D) R中若有左零因子也一定有右零因子。 4、设三次对称群S3 ={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}， H={ （1），（12）}，则H的左陪集（13）H是 （ ） （A）{ （1），（12）} (B) {（13），（123）} (C) { （23），（123）} (D) { （13），（132）} 5、 设σ=（1234），τ=（1243）则στ=（ ） （A）（132） (B) (12)(34) （C）（1234） （D）（13）(24) 三、填空题（每小题3分，共15分） 3．设M={1，2，3}，T（M）表示M的全体变换作成的集合，问|T（M）| =（ ）。 5、(327)(26)(14)(134)(57)= . 四、概念题1、什么是正规子群？2、什么是素理想？ 七、（12分）证明：2是整数环Z的一个素理想。 八、（11分）写出三次对称群S3关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。 = 1 \* GB1 ⒈ 由集合X={1，2，3，4}到集合Y={a,b,c}共有（ ）个满射。 5．在四元数群G={1，i, j, k, -1, -i, -j, -k}中，ij=( ). 8．设H={（1），（12）}是三次对称群的一个子群，写出陪集(13)H={ } 10、把下列置换表示成对换的乘积：（1432）= 。 1、什么是不变子群？2、什么是环？ 三、（15分）在二元多项式环Z[x，y]中， 证明：＜y＞={yf(x,y) | f(x,y)∈Z[x，y]}是Z[x，y]的素理想。 四、（11分）设G是由数域F上一切n阶可逆方阵组成的集合，证明G对于普通的矩阵乘法作成群。 六、（13分）设H，K是群G的两个子群，证明H∩K≤G。 = 1 \* GB1 ⒈ 设A、B都是非空集合，且|A| = m ，|B| = n则A到B间可定义多少个映射 （ ）。 （A） mn (B) m+n (C) m n (D) n m = 3 \* GB1 ⒊ 设R是实数集，对于任意 a，b∈R规定：，则下面说法不正确的是（ ） （A） (B) (C) = 4 \* GB1 ⒋ 设φ是集合M到集合N的一个同态映射 ，则下面说法不正确的是 （A） φ一定是M到N的一个映射； (B) φ一定是M到N的一个满射；