初中数学一元二次方程复习专题.docx

PAGE PAGE 1 一元二次方程专题复习 【知识回顾】 灵活运用四种解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式: ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 四种解法：直接开平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法： x , x ? ( b2 ? 4ac ≥ 0 ) ?b ? ?b ? b2 ? 4ac 注意：（1）一定要注意a ? 0 ，填空题和选择题中很多情况下是在此处设陷进； 掌握一元二次方程求根公式的推导; 主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”. 根的判别式及应用( ? ? b2 ? 4ac )： 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的情况： ①当? ? 0 时，方程有两个不相等的实数根； ②当? ? 0 时，方程有两个相等的实数根； ③当? ? 0 时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。 根与系数的关系(韦达定理)的应用： 韦达定理:如一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x , x  ，则x ? x  b c ? ? ， x ? x ? 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； 已知两数的和与积，求这两个数； 1 2 1 2 a 1 2 a 确定根的符号:( x , x 是方程两根)； 1 2 （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt? 的两直角边求斜边等情况. 注意：（1） x2 ? x2 ? (x ? x )2 ? 2x ? x 1 (x 1 2 ? x )2 2 1 ? (x 1 2 1 2 (x ? x )2 ? 4x ? x1 2 1 2? x )2 ? (x ? x )2 ? 4x ? x 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ?? ? 0 ?①方程有两正根，则?x ? x ? ? 0 ； ? 1 2 ?x ? x ? 0 ? 1 2 ?? ? 0 ?②方程有两负根，则?x ? x ? 0 ； ? ? 1 2 ?x ? x ? 0 ? 1 2 ?? ? 0 ?③方程有一正一负两根，则?x ? x ? 0 ； ? 1 2 ?? ? 0 ?④方程一根大于1，另一根小于1，则?(x ? ?1)(x ?1) ? 0 1 2 应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求 作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以x , x 为根的一元二次方程 1 2 为 x2 ? (x 1 x )x ? x ? x 2 1 2 ? 0 ;求字母系数的值时，需使二次项系数 a ? 0 ，同时满足? ≥ 0 ;求 代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x 1 x ， 两根之积 x 2 1 x 的 2 代数式的形式，整体代入。 用配方法解一元二次方程的配方步骤： 例：用配方法解4x2 ? 6x ?1 ? 0 第一步，将二次项系数化为1： x2 ? 3 x ? 1 2 4  ? 0 ，（两边同除以4 ） 第二步，移项： x2 ? 3 x ? ? 1 3x 3 x ? ( 3 )2 ? ? 1 ? ( 3 2 4 4 4 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方： x2 ? )2 第四步，完全平方：(x ? 3)2 ? 5 4 16 第五步，直接开平方： x ? 3 ? ? ，即: x ? ? ? 3 , x ? ? ? 3 5554 4 1 4 4 2 4 4 5 5 5 一元二次方程的定义与解法 【要点、考点聚焦】 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ； 熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降 幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要） 【课前热身】 当a ???时，方程ax2 ? 3x ?1 ? 0 是一元二次方程. 已知 x ? 1 是方程 x2 ? ax ? 2 ? 0 的一个根，则方程的另一根为 . 3.一元二次方程 x(x ?1) ? x 的解是 . 若关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0( a ? 0)，且 a ? b ? c ? 0 ，则方程必有一根为 . 用配方法解方程 x2 ? 4x ? 2 ? 0 ,则下列配方正确的是( ) A. (x ? 2)2 ? 2 B. (x ? 2)2 ? 2 C. (x ? 2)2 ? ?2 D. (x ? 2)2 ? 6 【典型例题解析】 1、关于 x 的一元二次方程(