初高中数学衔接知识点+配套测验.docx

第一讲 数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把 实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与 完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到 更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公 式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中 要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容． 一、乘法公式 【公式 【公式 1】(a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 证明： (a ? b ? c)2 ? [(a ? b) ? c]2 ? (a ? b)2 ? 2(a ? b)c ? c 2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 2ac ? 2bc ? c2 ? 等式成立 【例 1】计算：(x 2 ? 2x ? ) 2 13 1 解：原式=[x 2 ? (? 2x) ? ]2 13 1  1 1 1 ? (x 2 )2 ? (? 2x)2 ? ( )2 ? 2x 2 (? 2)x ? 2x 2 ? ? 2 ? ? (? 2x) 3 3 3 28 2? x 4 ? 2 2x3 ? x 2 ? x ? 1 2 8 2 3 3 9 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式 【公式 2】(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) 证明: (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? a 2b ? ab2 ? a 2b ? ab2 ? b3 ? a3 ? b3 说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例 2】计算：(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) 解：原式=[a ? (?b)][a 2 ? a(?b) ? (?b)2 ] ? a3 ? (?b)3 ? a3 b3 我们得到： 【公式 【公式 3】(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3 均称为乘法公式． 【例 3】计算： （1） (4 ? m)(16 ? 4m ? m2 ) （2） (1 m ? 5 1 1 1 1 ? ?n)( m 2 mn n 2 ) 2 25 10 4 ? ? （3） (a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16) （4） (x 2 ? 2xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? y 2 )2 PAGE PAGE 10 / 15 解：（1）原式= 43 ? m3 1 ? 64 ? m3 1 1 1 （2）原式= ( m)3 ? ( n)3 ? m3 ? n3 5 2 125 8 （3）原式= (a 2 ? 4)(a 4 ? 4a 2 ? 42 ) ? (a 2 )3 ? 43 ? a6 ? 64 （4）原式= (x ? y)2 (x 2 ? xy ? y 2 )2 ? [(x ? y)(x 2 ? xy ? y 2 )]2 ? (x3 ? y 3 )2 ? x6 ? 2x3 y 3 ? y 6 说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20 的平方数和 1、2、3、 4、…、10 的立方数，是非常有好处的． 【例 4】已知 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ，求 x3 ? 1 的值． x3 解：? x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ? x ? 0 ? x ? 1 ? 3 x 11 1 1原式= (x ? )(x 2 ? 1 ? ) ? (x ? )[(x ? ) 2 1 1 1 1 ? 3] ? 3(32 ? 3) ? 18 x x 2 x x 说明：本题若先从方程x 2 3x ? 1 ? 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较 1 1 1烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整 1 1 1 【例 5】已知a ? b ? c ? 0 ，求 a( ? ) ? b( ? 1 ) ? c( 1 ? 1) 的值． b c c a a b 解：? a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b b ? c