初级中学平面向量复习教案.docx

上海育才苑教学设计方案 姓 名 辅导科目 数学 学生姓名 年级 九年级 课时 2 上课时间教材版本 12 年 10 月 7 日 12:00-14:00 沪教版 课题名称 平面向量复习 掌握向量的基本概念；掌握向量加法与减法的定义、运算法则和几何意义；理解掌握实数与向量教学目标 积的意义和运算律；理解和掌握平面向量的线性运算的意义，掌握平面内任一向量都可以用两个 不平行向量来表示的方法。 教学重点 实数与向量积，向量的线性运算。 教学难点 实数与向量积的意义和运算律；平面向量的分解方法。 教 学 及 辅 导 过 程 一、概念梳理 （一）向量的基本概念 1、什么叫向量？ 2、什么是向量方向与模？ 3、什么是相反向量？什么是平行向量？ （二）向量的加法 1、 向量的加法定义 向量加法的定义：如图 3，已知非零向量 a、b，在平面内任取一点A， 作=a，=b，则向量叫做 a 与 b 的和，记作 a+b， 即 a+b=+=。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、 向量加法的法则： 向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相 接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即 为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 向量加法的平行四边形法则（平行四边形法则） 如图 4，以同一点O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形， 则以 O 为起点的对角线就是 a 与 b 的和。 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 3、 向量 a，b 的加法也满足交换律和结合律： ①对于零向量与任一向量，我们规定 a+0=0+a=a。 ②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个 向量，对应于数轴上的一条有向线段。 ③当 a，b 不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 1 / 8 教 学 及 辅 导 过 程 当 a，b 共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|； 当 a，b 共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量 a 的长度大于向量 b 的长度时， |a+b|=|a|-|b|；当向量 a 的长度小于向量 b 的长度时，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。 ④如图 5，作=a，=b，以AB.AD 为邻边作ABCD，则=b，=a。因为=+=a+b，=+=b+a，所以 a+b=b+a 。 如图 6，因为=+=(+)+=(a+b)+c， =+=+(+)=a+(b+c)， 所以(a+b)+c=a+(b+c)。 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。 特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。 （三）用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回归物理问题，从 而解决物理问题。 （四）向量的减法 由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和-a 互为相反向量。于是-(-a)=a。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。 所以，如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，a+b=0。 1、平行四边形法则 图 1 如图 1，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b。又 b+=a，所以=a-b。由此，我们得到 a-b 的作图方法。 图 2 2、三角形法则 如图 2，已知 a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即 a-b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。 与数 x 的相反数是-x 类似，我们规定，与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a 。 向量减法的定义。我们定义a-b=a+(-b)， 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。规定：零向量的相反向量是零向量。 (3)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结 合思想的重要体现。 （五）实数与向量相乘 我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ a，它的长度与方向规定如下： (1)|λ a|=|λ ||a|； 2 / 8 (2)当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向相反。由(1)可知，λ =0 时，λ a=0。 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律。