第四章妙趣横生的几何变换(共29张PPT).pptxVIP

第四章妙趣横生的几何变换;图形的相等有两种情况. 在平面几何中，两个相等的图形F和F’，对于F上不共线的任意三点A、B、C和F’上三个对应点 A’、B’、C’，如果我们让两双对应点重合，则第三双对应点或者重合，或者对称于重合直线 ． ;如果重合，两图形F和F’ 称为全(相)等，这时两图形的转向相同,如图 (1)． 如果对称于重合直线 ，则称F和F’ 镜照相等，这时两图形的转向相反,如图(2)．;4. 2 平移和旋转变换;如果一个平面图形经过f1与f2两次一一变换，所得到的像与经过一一变换f3所得到的像完全相同，我们就说f3是f1与f2的积，记作f3＝f2·f1． 这里，值得注意的是运动的先后顺序跟书写的先后顺序相反. 经过一个变换，没有变动位置的点和直线，称为这个变换的二重点(或不变点)和二重线(或不变直线)． ;4.2.2 平移变换;平移变换具有下列性质： 性质1 平移是运动. 性质2 平移的逆是平移. 性质3 两平移变换的乘积仍是一个平移. 性质4 在平移变换下，直线l变为直线l’，并且l∥l’或者l与l’重合． 性质5 非恒等变换的平移没有不变点，但有无数条不变直线，它们都平行于平移方向.;4.2.3 旋转变换;性质4 在位似变换下，对应线段之比相等，对应角相等且转向相同，不过中心的对应直线平行(当k＞0时，同向平行； 注 本例称为三角形的费尔马问题．此题有多种证法，比较简洁的方法是运用旋转变换，将从一点出发的三线段适当变位，使它们首尾相连，处于同一条直线（或折线）上，再进行比较． 性质4 在平移变换下，直线l变为直线l’，并且l∥l’或者l与l’重合． 由定义可知，平移变换由一向量或一对对应点唯一确定. 性质1 相似变换的乘积仍然是相似变换． 在T(a)变换下，点A变为A’，图形F变为F’，可表示为 性质2 相似变换的逆变换仍然是相似变换． 如果对应三角形沿周界环绕方向相反，那么称这两个图形镜像相似． 旋转变换具有下列性质： 例1 P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA,PB,PC,PD为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的二分之一． 2 平移和旋转变换 性质4 非恒等的旋转变换只有一个不变点——旋转中心，当旋转角φ≠180°时，旋转变换没有不变直线． 一个平面图形到自身的变换 ，如果对于任意两点A、B，以及对应点A’、B’，总有 A’B’=kAB（k为正实数），那么，这个变换叫做相似变换，实数k叫做相似比．相似比为k的相似变换常记为H(k)． 显然，位似变换H(O,1)就是恒等变换，而位似变换H(O,-1)是以点O为中心的中心对称变换． 如果 φ1+φ2=2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2)·R(O1，φ1)是个平移变换．;平移和旋转变换的应用;例1 P为平行四边形ABCD内一点，试证以PA,PB,PC,PD为边，可以构成一个凸四边形，其面积恰为平行四边形ABCD面积的二分之一．;例2有一条河，两岸有A、B两地，要设计一条道路，并垂直于河岸架一座桥.如何设计才能使A、B路线最短？;例3 点P在正方形ABCD内，若PA:PB:PC=1:2:3，求∠APB的度数.;例4　在△ABC内有一点P，满足条件∠APB=∠BPC=∠CPA =120°．求证P是到三顶点距离之和最小的点．;4.3 轴反射或轴对称变换;轴反射变换具有下列性质： 性质1 具有同一条反射轴的两个轴反射的乘积是恒等变换． 注 具有不同反射轴的两个轴反射的乘积不一定是轴反射变换． 性质2 在轴反射S(l)变换下，反射轴l是不动点的集合，垂直于反射轴的直线是不变直线． 性质3 设P为反射轴l上一点，A、A’是一对对应点，则∠APA’被l所平分.;4.3.2 轴反射变换的运用;例2 A、B在直线l的同侧，定长线段PQ在a上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？;4. 4平移、旋转、轴反射之间的关系;定理1 设 S(l1)、S(l2)是两个轴反射变换． (1) 如果l1∥l2，那么S(l2)· S(l1)是一个平移变换； (2) 如果l1与l2相交，那么S(l2)· S(l1)是一个旋转变换． 定理1的逆命题也成立．即 定理2 任何一个平移变换可以表示为两个反射轴平行的轴反射变换的乘积；任何一个旋转变换可以表示为两个反射轴相交的轴反射变换的乘积． 值得注意的是，由于第一条轴可以任意取，所以定理2中的分解方法并不唯一．;定理3 对于两个不同中心的旋转变换R(O1，φ1)、R(O2，φ2)，如果φ1+φ2≠2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2）·R(O1，φ1）是个旋转变换；如果 φ1+φ2=2kπ(k∈Z)，则R(O2，φ2)·R(O1，φ1)是个平移变换．;4.5