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外接球与内切八大模型—老师专用
类型一、墙角模型(三条线两个垂直,不找球心的位置即可求出球半径)
PcA
P
c
A
a
b
C
B
P
c
C
b
A
a
B
P
O2
c
B
b
a
C
A
图1 图2
方法:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2
图4
? a2 ? b2 ? c2 ,即2R ?
a2 ?
a2 ? b2 ? c2
例 1 (1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为16 ,则这个球的表面积是( C ) A.16? B. 20? C. 24? D. 32?
3若三棱锥的三个侧面两垂直,且侧棱长均为 ,则其外接球的表面积是 9?
3
解:(1)V ? a 2 h ? 16 , a ? 2 , 4R2
? a2 ? a2 ? h2
? 4 ? 4 ? 16 ? 24 , S ? 24? ,选C;
3SDHE(2)
3
S
D
H
E
? 3 ? 3 ? 3 ? 9 , S ? 4?R2
? 9?
在正三棱锥 S ? ABC 中, M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 AM ? MN ,若侧棱 SA ? 2 ,则
正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是 。36?
解:引理:正三棱锥的对棱互垂直。证明如下:
如图(3)-1,取 AB, BC 的中点 D, E ,连接 AE, CD , AE, CD 交于 H ,连接SH ,则H 是底面正三角
形 ABC 的中心,? SH ? 平面 ABC ,? SH ? AB ,
? AC ? BC , AD ? BD ,? CD ? AB ,? AB ?平面 SCD ,
? AB ? SC ,同理: BC ? SA , AC ? SB ,即正三棱锥的对棱互垂直,
本题图如图(3)-2, ? AM ? MN , SB // MN ,
? AM ? SB ,? AC ? SB ,? SB ? 平面 SAC ,
? SB ? SA , SB ? SC ,? SB ? SA , BC ? SA ,
A C
B
(3)题-1
_
? SA ? 平面 SBC ,? SA ? SC , S
故三棱锥 S ? ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直, M
? (2R)2 ? (2 3)2 ? (2 3)2 ? (2 3)2 ? 36 ,即4R2 ? 36 , A C
?正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积是36? B
N
(3)题-2
在四面体S ? ABC 中, SA ? 平面ABC , ?BAC ? 120? , SA ? AC ? 2, AB ? 1, 则该四面体的外接
球的表面积为( D ) A.11? B.7? C.10 ? D. 40 ?
3 3
如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6 、4 、3 ,那么它的外接球的表面积是
已知某几何体的三视图如图所示,三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,则该几何体外接球的体积为
解析:(4)在?ABC 中, BC 2
? AC 2 ? AB2 ? 2 AB ? BC ? cos120 ? 7 ,
BC ? 7 , ?ABC 的外接球直径为2r ? BC
? 7 ? 2 7 ,
sin ?BAC 3 3
2
? (2R)2 ? (2r)2 ? SA2 ? ( 2 7
3
)2 ? 4 ?
40 , S ? 40? , 选 D
3 3
三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a, b, c ( a, b, c ? R? ),则
?ab ? 12
??bc ? 8 ,? abc ? 24 ,? a ? 3 , b ? 4 , c ? 2 , (2R)2
?
??ac ? 6
?
? a2 ? b2 ? c2
? 29 , S ? 4?R2
? 29? ,
(6) (2R)2
? a2 ? b2 ? c2
? 3 , R 2 ?
3 , R ? 3
4 2
4
4 ?R
4
3 ? ?
3 3 ?
3
3
3
8
2
V ? ? ,
A C
B
_
_
类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)
POCAO1BD题设:如图 5
P
O
C
A
O1
B
D
第一步:将?ABC 画在小圆面上, A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直
径 AD
,连接
PD ,则
PD 必过球心O ;
图5
第二步: O
1
为?ABC 的外心,所以OO
1
? 平面 ABC ,算出小圆O 的半
1
径O D ? r (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得
1
a ? b ? c
? 2r ), OO
? 1 PA ;
PA2 ? (2r)2sin A sin
PA2 ? (2r)2
第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①(2R)2
? PA2
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