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专题12.1 全等三角形九大基本模型 专项讲练
全等在初中数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,该份资料就全等三角形中平移型全等、轴对称(翻折)型全等、旋转型全等、三垂直型全等、一线三等角型全等、手拉手型全等、半角模型、倍长中线模型、截长补短模型等经典模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型一:平移模型
【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形,图①,图②是常见的平移型全等三角线.
【常见模型】
例1.(2022?襄城区期末)如图,点B、E、C、F四点在一条直线上,∠A=∠D,AB∥DE,老师说:再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF.下面是课堂上三个同学的发言,甲说:添加AB=DE;乙说:添加AC∥DF;丙说:添加BE=CF.(1)甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ;
(2)请你从正确的说法中选择一种,给出你的证明.
【解题思路】(1)根据平行线的性质,由AB∥DE可得∠B=∠DEC,再加上条件∠A=∠D,只需要添加一个能得出边相等的条件即可证明两个三角形全等,添加AC∥DF不能证明△ABC≌△DEF;
(2)添加AB=DE,然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可.
【解答过程】解:(1)说法正确的是:甲、丙,故答案为:甲、丙;
(2)证明:∵AB∥DE,∴∠B=∠DEC,
在△ABC和△DEF中 QUOTE ,∴△ABC≌△DEF(ASA).
变式1. (2021?富顺县校级月考)如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.
【思路】可以根据已知利用SAS判定△AFC≌△DEB.如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图(2)、(3)时,其余条件不变,结论仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法进行验证.
【解答过程】解:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.∵DE∥AF,∴∠A=∠D.
在△AFC和△DEB中, QUOTE ,∴△AFC≌△DEB(SAS).在(2),(3)中结论依然成立.
如在(3)中,∵AB=CD,∴AB﹣BC=CD﹣BC,即AC=BD,
∵AF∥DE,∴∠A=∠D.
在△ACF和△DEB中, QUOTE ,∴△ACF≌△DEB(SAS).
模型二:轴对称模型
【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称之为轴对称型全等三角形,此类图形中要注意期隐含条件,即公共边或公共角相等.
【常见模型】
例2.(2022·河南南阳市·八年级期末)如图,已知∠C=∠F=90°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点O,(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF;(2)若∠A=51°,求∠BOF的度数.
【答案】(1)见解析;(2)78°
【分析】(1)由AE=DB得出AE+EB=DB+EB,即AB=DE,利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC=39°,根据全等三角形的性质得∠ABC=∠DEF=39°,由三角形外角的性质即可求解.
【详解】(1)证明:∵AE=DB,∴AE+EB=DB+EB,即AB=DE.
又∵∠C=∠F=90°,AC=DF,∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
(2)∵∠C=90°,∠A=51°,∴∠ABC=∠C-∠A=90°-51°=39°.
由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠ABC=∠DEF.∴∠DEF=39°.
∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°.
【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余,三角形外角的性质,全等三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.
变式2.(2022·湖南常德·八年级阶段练习)如图,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.
(1)求证:AC平分∠BAD;(2)求证:BE=DE.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】(1)通过SSS证明,再根据全等三角形的性质即可得出,即可得出结论;(2)通过SAS证明,再利用全等三角形的性质证明即可.
(1)在与中,
,,
,即AC平分∠BAD;
(2)在与中,
,,.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,角平分线的判定,熟练掌握知识点是解题的关键.
模型三:旋转模型
【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形,识别旋转型三角形时,涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件.
【常见模型】
例3.(2022·浙江衢州·八年级期
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