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教学单元
第二章 一元二次函数、方程和不等式
教学内容
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 (第2课时)
教学目标
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式的简单分式不等式;
2.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(重、难点);
3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决(难点)。
核心素养
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系,培养数学抽象的核心素养。
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集,提升数学运算的核心素养。
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系强化直观想象的核心素养。
教学重难点
重点:一元二次函数与一元二次方程的关系,利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;
难点:一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系,数形结合思想的运用.
学情分析
学生在小学和初中阶段已经学习了一元一次不等式的解法,在知识上已经具备了一定的知识经验和基础,在能力上初步具备了一定的解决问题的能力,同时这部分知识之前学过的二次函数也有密切的联系,因此学生对一元二次不等式的解法有一定的兴趣和积极性,但是学生能力有限,真正掌握还有一定的难度。
教学时,可以利用具体的一元二次不等式,让学生观察二次函数的图象,获得对解一元二次不等式方法的认识,培养学生直观想象的核心素养。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
情境导入
汽车在行驶的过程中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行, 突然发现情况不对,同时紧急刹车,但是两车还是相撞了.现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.
? ?对于甲车,有0.1x+0.01x212;对于乙车,有0.05
引导学生解决生活中的有关一元二次不等式的问题,并能用数学方法解决,培养学生数学建模的核心素养。
新知讲授
【知识一:一元二次不等式的应用】
1.一家车辆制造厂引进了一条
解:设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车,
因为只能取整数值,所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时,这家工厂能获得60000元以上的收益.
通过例题探究,引导学生解决生活中的有关一元二次不等式的问题,并能用数学方法解决,培养学生数学建模的核心素养。
【知识二:2.含参一元二次不等式的解法】
例3.解关于x的不等式: (1)x2-(a+1)x+a≤0
含参一元二次不等式的讨论一般方法
(1)当二次项系数不确定时
应对二次项系数进行讨论,一般分二次项系数”大于0”,小于0”和”等于0”三种情况;
(2)当对应方程根的个数不确定时应对方程根的别式?进行讨论,一般分?”大于0”,”小于0”和”等于0”三种情况;
(3)当方程两根的大小不确定时,应对方程根x1和x2的大小进行讨论,一分”x1x2”,”x1x2”和”x1=x2”三种情况
分类时应做到: 不重复,不遗漏
由x2-(a+1)x+a=0得
x1=1,x2=a
∴当x1x2, 即a1时
不等式的解集为{x|1≤x≤a}
当x1x2, 即a1时
不等式的解集为{x|a≤x≤1}当x1=x2, 即a=1时
不等式的解集为{x|x=1}
通过例题分析,引导学生对含有参数的一元二次不等式进行讨论,明确分类的原则,提高学生解决问题的能力。
课堂练习
2.如图,在长为8m,宽为6m 的矩形地面的四周种花卉上中间种植草坪,如要求草坪的种植面积不超过总面积的一半 , 那么花卉带的宽度应为多少米?
3.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元. 若按最低售价销售,每天能卖出20个;若每个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天的获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?
设花卉带的宽度应为xm,则
设每个削笔器的销售价格为x元,则
通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题的能力,感悟其中蕴含的数学思想,增强学生的应用意识。
课堂小结
1.利用一元二次不等式解决实际问题时的过程是怎样的?应注意哪一些问题?
利用一元二次不等式解决实际问题时应特别注意:
(1)是否需要设变量或未知数;
(2)为了使实
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