数学解题过程中的语言转换.docx

PAGE PAGE 1 数学解题过程中的语言转换 朱达峰 数学语言的呈现通常有三种形式：文字语言、符号语言、图形语言．每种语言各有其特点，在数学中发挥着不同的作用．数学解题的本质就在于实现这三种语言之间的相互转化，而转换的前提需要有一定量的知识积累，并能够正确运用数学原理分析文字语言、符号语言和图形语言之间的内在的逻辑关系，习惯于逐字、逐句、逐个符号、逐个图形的去分析、去翻译、去变式转换．这当中，从一点突破，可能会带动全局，快速找 出解题的思维路线． 例 1 已知定义在区间[ ? ? , 2 ? ] 上的函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ?  对称， ? 当 x ?[ ?  , 2 ? ] 3 6 时 ， 函 数 y 6 3 f (x) ? A s ?xi ? ?)n ( A ?(0 , ? ? 0 , ? ? ? ? 2 ? ? ) ， 1 2 ??x ? ? o ? ?? 其图象如图所示. π 求函数 y ? f (x) 在[ ? ? , 2 ? ] 的表达式； 3 2 6 3 x ? ? ? 6 求方程 f (x) ? 的解. 22 2 讲解 （1）观察函数 y ? f (x) 的图象，将图形语言转化符号语言，易得： A ? 1 , ? ? 1 , ? ? ? ． 3 即 x ?[ ? ? , 2 ? ] 时，函数 f (x) ? sin( x ? ?) ． 6 3 3 由函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x ? ? ? 对称，得知， 6 x ?[ ?? , ? ? ]时，函数 f (x) ? ?sin x . 6 ??sin(x ? ? ) x ?[? ? , 2? ] ?3故 f (x) ? ??? sin x ? 3 6 3 . x ?[?? ,? ? ) 6 （2）当 x ?[ ? ? , 2 ? ] 时，由sin(x ? ?) ? 2 ，得 6 3 3 2 x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或 x ? 5? ． 3 4 4 12 12 当 x ?[ ?? , ? ? 6 ]时，由? sin x ? 2 ，得 2 x ? ? 3? 或x ? ? ? . 4 4 故方程 f (x) ? 2 的解集为{ ? 3?  , ? ? , ? ?  , 5? }． 2 4 4 12 12 点评 本题是图形语言转化为符号语言的范例．当中的分段函数是历年高考的热门话题，应当引起读者的重视． 例２ 电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲播映时间为20 分钟， 广告时间为 1 分钟，收视观众为60 万，片集乙播映时间为10 分钟，广告时间为1 分钟， 收视观众为 20 万。广告公司规定每周至少有6 分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间．电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？ 讲解 设片集甲播映x 集，片集乙播映y 集，于是就可将问题中的文字语言转换为下 列的不等式组 y68621(4，2)O686 y 6 86 21 (4，2) O 6 86 11 x ?? 21x ? 11y ? 86, ? ??x ? 0, y ? 0, x ? N , y ? N , ? 要 使 收 视 率 最 高 ， 则 只 要 z=60x+20y 最大即可． 接下来，将上面的不等式组转 化为图形语言．由右图可知，当 x=4， y=2 时，z=60x+20y 取得最大值 280 万. 故电视台每周片集甲和片集乙各播映4 集和 2 集，其收视率最高. 点评 本题是涉及人民日常生活的一道好题，求解时用到线性规划知识，这是高中数学里值得重视的知识点． 例３ 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示： 1998 1998 年 1999 年 2000 年 新植亩数 1000 1400 1800 沙地亩数 25200 24000 22400 而一旦植完，则不会被沙化： 问：（１）每年沙化的亩数为多少？ （２）到那一年可绿化完全部荒沙地？ 讲解 解答应用题时，需要抓住题目中关键文字，将其转换为数学的符号语言． 由表知，每年比上一年多造林400 亩．（等差数列！） 因为 1999 年新植 1400 亩，故当年沙地应降为25200 ? 1400 ? 23800 亩，但当年实际沙地面积为 24000 亩，所以 1999 年沙化土地为 200 亩． 同理 2000 年沙化土地为 200 亩． 所以每年沙化的土地面积为 200 亩. 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200 亩． 3设 2000 年及其以后各年的造林