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章节
1.5.1
课题
全称量词与存在量词
教
学
目
标
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
2.通过本节内容的学习,学生能使用常用逻辑用语表达数学对象,并进行数学推理,从而培养逻辑推理的核心素养.
教学重点
全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断.
教学难点
利用全称量词命题和存在量词命题求参数的值或取值范围,双量词问题.
【新知探究】
一、全称量词与全称量词命题
1.定义、一般形式及符号表示
全称量词
定义
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词
其他形式
符号表示
全称量词命题
定义
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题
一般形式
对M中任意一个x,p(x)成立
符号表示
2.全称量词命题的判断
判断一个命题是否为全称量词命题,一是看该命题是否含有全称量词;二是看该命题是否为省去
全称量词的命题,如果是,我们可以把全称量词补充出来看是否讲得通.
存在量词与存在量词命题
3.定义、一般形式及符号表示
存在量词
定义
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词
其他形式
符号表示
存在量词命题
定义
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题
一般形式
存在M中的元素x,p(x)成立
符号表示
4.全称量词命题与存在量词命题的区别
(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,
强调“整体、全部”.
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
【典型例题】
例1.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题,并指出真假。
(1)所有质数(又称素数)都是奇数;
(2)至少有一个整数n,使得n2+n 为奇数;
(3?x∈{yly是无理数},x3是是无理数;
?x∈{yly是无理数},x2是无理数。
eq \a\vs4\al([方法技巧])
判断全称量词命题真假的思维过程
2.判断存在量词命题真假的思维过程
变式训练:判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题,并指出真假。
平行四边形的对角线互相平分;
(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;
(3)三角形不都是中心对称图形;
(4)一元二次方程不总有实数根。
例2. 已知命题p:?x∈x12≤x≤1,eq \f(1,x)-a≥0是真命题,求实数
eq \a\vs4\al([方法技巧])已知含量词命题的真假求参数的取值范围,需要将其等价转化,全称量词
命题转化为恒成立问题,存在量词命题转化为有解问题,然后用分离参数法或讨论
最值法求得参数的范围。
变式训练:已知命题p:?x∈x12≤x≤1,eq \f(1,x)-a≥0是真命题,求实数
总结:一般地,“?x∈R,t(x)m”,则mt(x)max;如果是“?x∈R,t(x)m”,则mt(x)min.
例3. 已知集合A={m|2≤m≤6},B={n|t-2≤n≤2t}(t-2).
(1)若?m∈A,?n∈B,使得mn成立,则实数t的取值范围是 ;
(2)若?m∈A,?n∈B,mn恒成立,则实数t的取值范围是 ;
(3)若?m∈A,?n∈B,使得mn成立,则实数t的取值范围是 ;
(4)若?m∈A,?n∈B,mn恒成立,则实数t的取值范围是 ;
eq \a\vs4\al([方法技巧])
“若?m∈A,?n∈B,使得mn成立”等价于 mmaxnmax;
“若?m∈A,?n∈B,mn恒成立”等价于:mminnmin;
(3)“若?m∈A,?n∈B,使得mn成立”等价于mminnmax;
(4)“若?m∈A,?n∈B,mn恒成立”等价于mmaxnmin;
变式训练:下列四个命题中,真命题的序号是 .
(1)?n∈R,?m∈R,m2n; (2)?n∈R,?m∈R,mn=m;
(3)?n∈R,?m∈R,m2+n2=4m-2n-6;(4)?n∈N*,?m∈N*,mn+1≥m+n.
【达标检测】
A组
1、下列命题中,既是真命题,又是全称量词命题的是( )
A.对任意的a,b∈R都有a2+b2-2a-2b
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