数列的实际应用问题.docx

数列的实际应用问题 例 1．某地区预计从2005 年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f (n)（万件）与月份 1 n 的近似关系为 f (n) ? 150 n(n ? 1)(35 ? 2n)(n ? N，n ? 12) 求 2005 年第n 个月的需求量g(n)（万件）与月份n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过 1.4 万件。 如果将该商品每月都投放市场 P 万件，要保持每月都满足供应，则 P 至少为多少万件？ 解答：（I）由题意知， g?1? ? f (1) ? 1 ? 1 ? 2 ? 33 ? 11 当n ? 2 时， 150 25 g(n) ? f (n) ? f (n ? 1) ? 1 n(n ? 1)(35 ? 2n) ? 1 (n ? 1)n[35 ? 2(n ? 1)] 150 150 ? 1 n[(n ? 1)(35 ? 2n) ? (n ? 1)(37 ? 2n)] ? 1 n(12 ? n) 150 25 又 1 ? 1 ? (12 ? 1) ? 11 ? g(1) ,? g(n) ? 1 n(12 ? n)(n ? N，n ? 12) 25 25 25 由 1 n(12 ? n) ? 1.4 得: n2 ? 12n ? 35 ? 0 ,?5 ? n ? 7 ，又n ? N， ? n ? 6 25 即 6 月份的需求量超过 1.4 万件 要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数P（万件）应满足 Pn ? f (n) 即 ?Pn 1 n(n ? 1)(35 ? 2n) ,? P ? 1 (n ? 1)(35 ? 2n) ? ? 1 (n2 ? 33 n ? 35) ? 150 150 75 2 2 n ? N ，当n ? 8 时， 1 (n ? 1)(35 ? 2n) 的最大值为1.14万件即P至少为1.14万件 150 练习：听P82 例 2 例 2．某外商到一开发区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12 万美元， 以后每年增加4 万美元，每年销售蔬菜收入50 万美元。设 f (n) 表示前n 年的纯收入（ f (n) ? 前 n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额） 从第几年开始获取纯利润？ 若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48 万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16 万元出售该厂，问哪种方案最合算？ 解答：由题意知，每年的经费是以 12 为首项，4 为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 n(n ? 1) 系为 f (n) ，则 f (n) ? 50n ? [12n ? ? 4] ? 72 ? ?2n2 ? 40n ? 72 2 （1）纯利润就是要求 f (n) ? 0 ，?? 2n 2 ? 40n ? 72 ? 0 解得2 ? n ? 18。由n ? N 知从第三年开始获利 （2）①年平均利润? f (n) ? 40 ? 2(n ? 36) ? 16 当且仅当n＝6 时取等号。 n n 故此方案先获利6 ? 16 ? 48 ? 144 （万美元），此时 n＝6 ② f (n) ? ?2(n ? 10)2 ? 128 当 n＝10 时， f (n)  max ? 128 故第②种方案共获利128 ? 16 ? 144 （万美元） 比较两种方案，获利都是 144 万美元。但第①种方案只需 6 年，而第②种方案需 10 年，故选择第①方案。 例3．用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第 10个月应付多少万元？全部贷款付清 后，买这批房实际支付多少万元？ 解答：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清， {则每次交付欠款的数额顺次构成数列 a { n }，故a 1 ? 100 ? 2000 ? 0.01 ? 120 （万元） a ? 100 ? (2000 ?100) ? 0.01 ? 119 （万元）； a 2 3 ? 100 ? (2000 ?100 ? 2) ? 0.01 ? 118 （万元） a ? 100 ? (2000 ? 100 ? 3) ? 0.01 ? 117 （万元）… 4 na ? 100 ?[2000 ?100(n ?1)]? 0.01 ? 120 ? (n ?1) ? 121 ? n (1 ? n ? 20, n ? N ) n n因此{a }是首项为120，公差为-1的等差数列， n 故 a ? 121 ? 10 ? 111 （万元） a 10 20 ? 121 ? 20