数学建模五步法.docx

一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利 1500 美元,估计每 100 美元的折扣可以 使 销 售 量 提 高 1 5 % 。 ⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。 ⑵对你所得的结果，求关于所做的 15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。 ⑶假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售量提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100 美元的折扣的提高量为 10%~15%之间的某个值,结果以如何. ⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。运用五步法求解上面问题。 ⑴提出问题(问题) ⑵选择建模方法(方法) ⑶推导模型的数学表达式 ⑷求解模型 ⑸回答问题。 ㈠问题的提出 具体问题 ⑴多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。 ⑵对你所得的结果，求关于所做的 15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。 ⑶假设实际每 100 美元的折扣仅可以使销售量提高 10%，对结果会有什么影响？如果每 100 美元的折扣的提高量为 10%~15%之间的某个值,结果以如何. ⑷什么情况下折扣会导致利润的降低。 符号的说明 利润（美元）； 折扣（美元） 利润（美元）； 折扣（美元） 没有折扣时的销售量（量） 打折后得销售量（辆） 利润 每 100 美元折扣提高的销售量 每 100 美元折扣提高的销售量 模型的假设 ⑴打折后每辆汽车的利润（1500- x ）（美元）； ⑵打折后得销售量q ? (1 ? x ?15%)q 100 0 （辆）； ⑶利润 P ? (1500 ? x)(1 ? x ?15%)q 100 0 （美元）； ⑷折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x 美元,销售量就提高了 15%x 。 ⒋问题的分析 根据题意，以目前的价格 P，销售量为 n，利润为 n(P ? C ) ? 1500 ，现厂家估计每 100 美元的折扣可以使销售量提高 15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x 美元,销售量就提高了15%x ，现需决定x 的大小， 使得厂商获取最大利润。 ㈡模型的建立与求解 提出问题 根据题意，以目前的价格 P，销售量为 n，利润为 n(P ? C ) ? 1500 ，现厂家估计每 100 美元的折扣可以使销售量提高 15%，我们假设折扣活动是一次性完成的，即厂家一次性降低100x 美元,销售量就提高了15%x ，现需决定x 的大小， 使得厂商获取最大利润。所以目标时求利润 P 的最大值。 选择建模方法 设 y ? f (x) 在 x ? S 处是可微的， 若 f (x) 在 x 处达到极大或极小, 则 f ?(x) ? 0 。 推导模型公式 记 y ? P / q0 作为求最大值的目标变量，x 自变量，我们的问题就化为在集合 S ? {x : x ? 0} 上求下面函数的最大值 利用第二步中确定的标准过程求解这个模型 对 y ? f (x) ? (1500 ? x)(1 ? x ?15%) 在区间 x≥0 上求最大值。利用 matlab 100 软件作出 z ? f (x) 的图像。程序： x=400:450; y=(1500-x).*(1+x./100*0.15); plot(x,y) 图 1 折扣 x 与利润的关系 如图 1 可知 y ? f (x) 关于 x 是二次的曲线图，易得 f ?(x) ? ?0.003x ? 1.25 ， 则在 x ? 1250 处 f ?(x) ? 0 由 f 在区间?? ?, 1250 ? 上单升,而在区间? 1250 ,?? ? o ? ? ? ? ??33 3? ? ? 3 3 3 上单减.故点 x ? 1250 是整体最大值点. 3 ??因为 f (1250 ) ? 1760.4 ,从而点?x, y?? ? 1250 ,1760.4? 是 f 在整个实轴上的整 ? ? 3 ? 3 ? 体最大值点,也是区间 x≥0 上的最大值点。 回答问题 ⑴由第四步我们得到的答案是在打约 416.7 美元的折扣的时候，可以获得最大利润。只要第一步假设成立，这一结果就是正确的。 ⑵对问题二进行粗灵敏度分析 前面我们假定r ? 0.15（辆/百美元），现在假设r 的实际值是不同的，对几个不同的r 值，重复前面的求解过程,我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所 了解.即给定r 对 y ? f (x) ? (1500 ? x)(1 ? 不同的r 值求出 x 如表 1。 x 100 r) 求导，令 f ?(x) ? 0 ，可得相应 x 值， 表 1 所打折扣 x 关于销售量的增长速率 r 的灵敏性 r 0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 x 250.00 295.45 333.33 365.38 392.