上下极限的等价性定义及应用.docx

上、下极限的等价性定义及其应用 摘要 数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念.在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义.关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）.除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）.接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性.在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程.其次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题.最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用. 关键词：上极限，下极限，聚点，上确界AbouttheEquivalenceoftheDefinitionsofSuperiorLimit andInferiorLimitandItsapplications YuLi (SchoolofMathematicalScience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,235000) Abstract Theconceptofthesuperiorandinferiorlimitonsequenceistwoimportantconceptsinmathematicalanalysis.Indifferentversionsoftextbooksofmathematicalanalysis,oftengivedifferentformsofitsdefinition.Onthesequenceofthesuperiorandinferiorlimitoftheconcept,therearethreecommonlyusedmethods(thedefinitionofpaper1、2、3).Inaddition,thisarticlegivestwodefinitions(thedefinitionofarticle4、5).Byusingofknowledgeofcompletenessofrealandlimittheory,suchas:theoremofthepointofaccumulation,theoremofnestedinterval,definitionsofsequencelimitandthepropertiesofconvergencesequence,thisarticlestrictlyproofstheequivalenceofthefivedefinitions.Onthesebases,wediscusssomepropertiesofthesuperiorandinferiorlimit,andgivetheproof.Secondly,usingthedefinitionsandpropertiesofthesuperiorandinferiorlimit,wegivesomepropositionsaboutthesuperiorandinferiorlimit.Finally,thispapergivesexamplestoillustratetheapplicationoftheoperationoflimitandthetheoryofseriesofthesuperiorandinferiorlimit. Keywords:superiorlimit,inferiorlimit,accumulation,leastupperbound TOC\o1-5\h\z弓|言1 \o CurrentDocument 一、上、下极限的定义1 \o CurrentDocument （一）上、下极限的5种定义1 \o CurrentDocument （二）上、下极限定义的等价性证明2 \o CurrentDocument 二、上、下极限的相关应用5 （一）上、下极限的性质5 \o CurrentDocument （二）有关上、下极限的若干命题8 \o CurrentDocument （三）上、下极限在极限教学中的作用12 上、下极限在极限运算中的作用12 上、下极限在数列与级数论中的作用13 \o CurrentDocument 结论14 参考文献14 致谢15 引言一个有界数列｝不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极n限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍受教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极限的教