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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
教学设计
教学目标
1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.
2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律.
3.了解共线向量、共面向量的意义,掌握它们的表示方法、理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
教学重难点
教学重点:空间向量的线性运算和运算律、共线向量定理和共面向量定理.
教学难点:立体几何问题转化为向量计算问题.
教学过程
新知积累
1.空间向量的概念
(1)空间向量及空间向量的模:空间中具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
(2)空间向量的表示:用字母a,b,c,…表示,或用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的模,a的起点是A,终点是B,则a也可记作,其模记为或.
(3)零向量:规定长度为0的向量叫零向量,记为0.
(4)单位向量:模为1的向量叫单位向量.
(5)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-a.
(6)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有.
(7)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
2.空间向量的运算律
(1)空间向量的加法、减法及数乘运算:
①;
②;
③当时,;当时,;当时,.
(2)空间向量线性运算的运算律:
交换律:;
结合律:,;
分配律:,.(其中,)
3.共线向量和共面向量
(1)共线向量:对任意两个空间向量a,b(),的充要条件是存在实数,使.
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数,使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(3)共面向量:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内,那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,使.
例题巩固
例 如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使,求证:E,F,G,H四点共面.
证明:因为,
所以,,,.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以.
因此
.
由向量共面的充要条件可知,,,共面,
又,,过同一点E从而E,F,G,H四点共面.
课堂练习
1.如图所示,在平行六面体中,设,,,N是BC的中点,用a,b,c表示为( )
A. B. C. D.
答案:A
解析:是BC的中点,
.故选A.
2.在正方体中,下列各式的运算结果为向量的是( )
①;②;
③;④.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案:C
解析:,①错;
,②错;
,③对;
,④对.故选C.
3.已知i,j,k是不共面向量,,,,若a,b,c三个向量共面,则实数等于___________.
答案:
解析:若向量a,b,c共面,则存在,使得,
,,解得.
小结作业
小结:本节课学习了空间向量及其线性运算.
作业:完成本节课课后习题.
板书设计
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.空间向量的概念
2.空间向量的运算律
3.共线向量和共面向量
第一章 空间向量与立体几何
1.1.2 空间向量的数量积运算
教学设计
教学目标
1.了解空间向量的夹角、模的概念及其表示.
2.掌握空间向量的数量积及其运算律.
3.能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.
教学重难点
教学重点:数量积的计算及其应用.
教学难点:立体几何问题转化为向量计算问题.
教学过程
新知积累
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作,,则叫做向量a,b的夹角,记作.如果,那么向量a,b互相垂直,记作.
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a,b,则叫做a,b的数量积,记作.即. 特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义,可得;.
3.向量的投影
如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,,向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 类似地,可以将向量a向直线l投影,如图(2),
如图(3),向量a向平面投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量a在平面上的投影向量,这时,向
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