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2022—2023学年第二学期高一年级期中考试
数学试卷
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.)
1. 若i为虚数单位,则()12的值为
A.1 B.-1 C.i D.-i
2. 已知a、b是不共线的向量,且=3a+4b,=-2a-6b,=2a-4b,则
A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线
C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线
3. 已知a=(2,-1),b=(-1,0),若(a-tb)⊥(a+b),则实数t的值为
A.5 B.2 C.-1 D.-3
4. 设复数z满足|z-i|+|z+i|=2,其中i为虚数单位,则|z|的最大值为
A.1 B.2 C. D.
5. 海面上有相距的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为
A. B. C. D.
6. 已知tan(α+β)、tan(α-β)是关于x的方程x2+mx-4=0的两根,且tanα=,则m的值为
A.-12 B.- C.4 D.
7. 为了军事国防需要,现准备发射一颗通信卫星.通信卫星在地球静止轨道上运行,地球静止轨道位于地球赤道所在平面.将地球看作是一个球(球心为O,半径为rkm),地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个仰角为θ的地面接收天线(仰角是天线对准卫星时,天线与水平面的夹角),若点A的纬度为北纬30°,tanθ=-,则该通信卫星的轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为
A.2r B.3r C.6r D.7r
8. 已知△ABC中,AC=2,sinA=tanB,A∈(0,],则边AB的最小值为
A.2 B.3 C.2+ D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,少选得2分,错选或不选得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上.)
9. 设函数,则下列结论正确的是
A.的最小正周期是 B.是的一个对称轴
C.的最小值是 D.若在上单调递减,则最大值是
10.如图,若△ABC的外接圆为⊙O,D为AB的中点,则下列说法一定成立的是
A.若⊙O的半径为定值,则·为定值
B.若CA、CB的长度为定值,则·为定值
C.·=·
D.·=2-2
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC、BD的交点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是
A.C1、O、A、M四点共面
B.直线C1O与直线A1C为异面直线
C.直线A1A与直线OM相交
D.D1、D、O、M四点共面
12.在锐角三角形ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,且tanB是关于x的方程sinC·x2+2(1-cosC)x-sinC=0的一个根,则
A.-是方程的另一个根 B.tan2B·tan=2
C.角B的取值范围为(,) D.的取值范围为(3,2+)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.)
13.写出同时满足条件①:“(1+i)·z∈R”、条件②:“|z|>3”的一个复数z=________.
14.若sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,则cos(α-β)=________.
15.空间有6个点,其中任意三点不共线,且有五个点共面,则这6个点最多可以确定________个平面.
16.在△ABC中,若BC=AB,=2,·=2,则·=________.
四、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)
关于复数z=a+bi(a、b∈R,i为虚数单位),有下列四个命题:①a=2;②b=;③z·=4;④z+=||;且上述四个命题中只有一个是假命题.
(1)请问假命题是哪一个,并求出复数z;
(2)设复数z1、z2满足|z1|=|z2|=|z|,|z1+z2|=2,求|z1-z2|.
18.(本小题满分12分)
如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB=CD,E、F分别
为BC、AD的中点.
(1)若AB⊥CD,求EF与AB所成的角的大小;
(2)若AB=CD=2,且异面直线AB与CD所成角的大小
为60°,求线段EF的长.
19.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3a2+b2=c2.
(1)式子tanB-tanA-2tanA·tan2B的值为是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由;
(2)若C=120°,求cosA的值.
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