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第一章 多项式 1.8 有有理理系系数数多多项项式式 预预备备知知识识 11.. 有有理理系系数数多多项项式式问问题题可可归归结结为为整整系系数数多多 项项式式的的问问题题．． 例如，有理系数多项式 一般地，设 则则可可选选取取适适当当整整数数 使使 为为整整系系数数多多项项式式．． 所所以以有有理理系系数数多多项项式式问问题题可可归归结结为为整整系系数数多多项项 式式的的问问题题 22..整整系系数数多多项项式式可可分分解解的的定定义义 设设 若若存存在在 其其中中 则则称称 是是可可分分解解的的，，否否则则称称 是是不不可可分分 解解的的。。 一一、、本本原原多多项项式式 本本原原多多项项式式的的性性质质 11..设设 若若 为为本本原原多多项项式式．．则则 没没有有 异异于于 的的公公因因子子，，即即 是是互互素素的的，， 55.. 引引理理11..88..11 使使 其其中中 为为本本原原多多项项式式．．而而且且这这种种表表示示式式是是唯唯一一的的。。 即，若 ，则 66．．GGaauussss引引理理 定定理理11..88..22　　两两个个本本原原多多项项式式的的积积仍仍是是本本原原多多项项式式．． 证证：： 设设 是是两两个个本本原原多多项项式式．． 反反证证 ．．若若 不不是是本本原原的的，，则则存存在在素素数数 又又 是是本本原原多多项项式式，，所所以以 不不能能整整除除 的的 每每一一个个系系数数．． 令令 为为 中中第第一一个个不不能能被被 整整除除的的数数，，即即 同同理理，， 本本原原，，令令 为为 中中第第一一个个不不能能被被 整整除除的的数数，，即即 又又 在在这这里里 矛矛盾盾．． 故故　　　　是是本本原原的的．． 推推论论11　　若若一一非非零零的的整整系系数数多多项项式式可可分分解解成成两两 个个次次数数较较低低的的有有理理系系数数多多项项式式，，则则它它一一定定可可分分解解 成成两两个个次次数数较较低低的的整整系系数数多多项项式式的的乘乘 ．． 推推论论11说说明明整整系系数数多多项项式式 证证：：设设整整系系数数多多项项式式 有有分分解解式式 其其中中 且且 令令 这这里里，， 皆皆为为本本原原多多项项式式，， 于于是是 由由定定理理11..88.. 本本原原，，从从而而有有 即即 得得证证．． 推推论论22 设设 是是整整系系数数多多项项式式，，且且 是是本本原原 的的，，若若 则则　　 必必为为整整系系数数多多项项式式．． 证证：：令令 本本原原，， 于于是是有有，， 即即 为为整整系系数数多多项项式式．．