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数的开方与二次根式
1、平方根
(1)平方根的定义:如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a 的平方根。用数学语言表达即为:若,则x叫做a的平方根。a的平方根记作: ,读作“根号a”
(2)平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数。
②0有一个平方根,它是0本身。
③负数没有平方根。
(3)求一个数a的平方根的运算,叫做开平方的运算。
+3与-3的平方是9,9的平方根是+3和-3,可见平方运算与开平方运算互为逆运算。
(4)平方根的表示方法:
表示正数a的正的平方根
-表示正数a的负的平方根
练习:求169的平方根 将1.44开平方
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:正数a有两个平方根,其中正数a的正的平方根,也叫做a的算术平方根, 记作 “”,读作:“根号a”,其中a叫做被开方数。
(2)算术平方根的性质:
①正数a的算术平方根是一个正数。
②0的算术平方根是0。
③负数没有算术平方根 。
(3)重要性质:
练习:求25的算术平方根 求的算术平方根
3、立方根
(1)立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那这个数叫做a的立方根(也叫三次方根)。用数学语言表达即为:若,则x叫做a的立方根。记作: ,读作“三次根号a” 。
(2)立方根的性质:
①一个正数有一个正的立方根;
②一个负数有一个负的立方根;
③0的立方根是0。
(3)重要性质:
(4)求一个数的立方根的运算,叫做开立方运算。立方运算与开立方运算互为逆运算。
练习:求的立方根 求的立方根
4.二次根式的有关概念
(1) (a≥0)表示非负数a的算术平方根,也就是说,(a≥0)是一个非负数,它的平方等于a.即有: (1)≥0(a≥0);(2)=a(a≥0).形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
注意: 在二次根式中,字母a的取值范围,必须满足a≥0,即被开方数必须是非负数。
练习:如果有意义,求的取值范围
如果有意义,求的取值范围
(2)最简二次根式
被开方数中不含分母,并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2,像这样的二次根式称为最简二次根式.
二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段,二次根式的化简主要包括两个方面:
①如果被开方数中含有分母,通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方,再“开方”出来。
②如果被开方数中含有完全平方的因式(或因数),可利用积的算术平方根的性质,将它“开方”出来。
在化简过程中,都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来,在这里,二次根式的性质“=a(a≥0)”起着举足轻重的作用.
练习:计算(1); (2); (3).
(3)同类二次根式
化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式。
练习:判断是否为同类二次根式,与,,,
5.二次根式的性质
6.二次根式的运算
(1)二次根式的加减
二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并。
练习:计算:.
(2)二次根式的乘法
两个二次根式相乘,将它们的被开方数相乘,即
二次根式的和相乘,可参照多项式的乘法进行。
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个二次根式互为有理化因式.
上面得到的等式(a≥0,b≥0),也可以写成(a≥0,b≥0)这就是说,积的算术平方根,等于各因式算术平方根的积。利用这个性质可以进行二次根式的化简。
练习:计算
化简; .
(3)二次根式的除法
两个二次根式相除,将它们的被开方数相除,即(a≥0,b>0)
二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去,叫做分母有理化。
练习:计算:
化简: .(要求分母中不含二次根式,并且二次根式中不含分母)
化简:
化简:
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