极大线性无关组及线性表示系数的求法完整版.pptVIP

例10. 讨论下列向量组的线性相关性(要求用“观察法”). (1) (2) 解： 对于(1)组，显然有 (2)组中每一个向量的前3个分量构成无关组，由定理5 知(2)组无关. 证明：（反证） 若向量组 b1, b2,…, bm线性相关，则存在一组不全为零的数k1, k2,…, km ,使得 k1 b1 +k2 b2 +…+km bm=o （1） 即 （2） 显然，方程(2)的前 n 行就是 k1a1 +k2a2 +…+kmam=o ， 从而得，a1 ，a2 ，…，am线性相关，矛盾.证毕. 定理5 若向量组 ai=(ai1, ai2, ???,ain) (i=1,2,…,m)线性无关，则向量组 b i=(ai1, ai2, ??? ,ain , ain+1 ) (i=1,2,…,m)也线性无关. 练习题 一、填空题：在向量组a1 ,a2 ,…, ar中，如果有部分向量线性相关，则向量组必（ ）． 二、多选题：下列命题中正确的有（ ） Ａ．非零向量组成的向量组一定线性无关． Ｂ．含零向量的向量组一定线性相关． Ｃ．由一个零向量组成的向量组一定线性无关． Ｄ．由零向量组成的向量组一定线性相关． Ｅ．线性相关的向量组一定含有零向量． 三、分析判断题 ：若a1不能被a2 ,a3 ,…, ar 线性表示， 则向量a1 , a2 ,a3 ,…, ar线性无关．（√×） 四、证明题：设b可由设a1 ,a2 ,…, ar线性表示，但不能 由a1 ,a2 ,…, ar-1线性表示，证明ar可由a1 ,a2 ,…, ar-1 ,b 线性表示． 等价向量组 定义3 设有两个向量组 (I) (II) 如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称向量组(I)与向量组(II)等价. 例11. (I) a１=(1, 0) , a 2=(0, 1) (II) b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组. 因为, b１=a１＋a２， b 2=a１－a２， b 3=a１＋５a２, 5.4 极大线性无关组 向量组(I)与向量组(II)等价. 等价向量组的性质 自反性 对称性 传递性 引例. 向量组a１=(1,1,1), a2=(0,2,5), a3=(1,3,6), 等价于其部分向 量组a１ a2 . 事实上，a１，a２，a3中的每一个向量可由a１，a２线性表示,即 而 a１，a２中的每一个向量可由a１，a２，a3线性表示，即 向量组的极大线性无关组 例12．在向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中，向量组a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线性无关，且有 同样a2，a4也是一个极大线性无关组. 所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大线性无关组. a4=(0, 2)=2(0, 1)=2a1+0a2， a3=(1, 1)=(0, 1)+(1, 0)=1a1+1a2， 定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分组aj1，aj2 ,… ,ajr (r≤m) 满足： (1) 部分组aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2) 向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由该部分组线性表示，则称所选部分组为原向量组的一个极大线性无关组. 极大线性无关组不一定唯一； 向量组与它的极大线性无关组等价. 线性表示， 则r≤s. 定理6 设向量组 线性无关，并且可由向量组 推论2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关. 向量组的秩 n维空间至多找到n个线性无关的向量！ 定义5 向量组a1，a2，??? ，am的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩. 记作r(a1，a2，??? ，am). 规定，只含零向量的向量组的秩为0 . 推论3 等价的向量组有相同的秩. 若r(a1，a2，??? ，am)m，则向量组a1，a2，??? ，am必线性相关. ★重要结论 (线性相关性新的判定方法！) 向量组的秩 极大线性无关组及线性表示系数的求法 1. 向量组秩的求法 2. 向量组极大线性无关组的求法 3. 用极大线性无关组表示其他的向量 定义4 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩 称为矩阵A的列秩. 即 行向量组a1，a2，