组合数中的平均分组与非平均分组问题.docxVIP

平均分组与非平均分组 一、重要结论 先说结论： 平均分组会产生重复，应该用组合数除掉按组数的全排列，才为正确的分组数； 不平均分组无重复，可直接用组合数计算，即为正确的分组数 举例论证如下： 例1 现有两个元素 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②，分成两组，共有几种情况 解析：每组各一个元素，只有 = 1 \* GB3 ①与 = 2 \* GB3 ②这一种情况。但是用组合数去算，有种情况。产生了重复分组。重复的原因是因为按组数自动做了一个全排列。故正确的算法应该为去掉这个全排列，为 例2 现有四个元素 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④，分成两组，共有几种情况 解析：有两类分组。 第一类1+3型，共有4种情况，如下 = 1 \* GB3 ①与 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④； = 2 \* GB3 ②与 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④； = 3 \* GB3 ③与 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④； = 4 \* GB3 ④与 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ 如果用组合数算为，符合这一类的分组情况，无重复 第二类为2+2型，共有3种情况，如下 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②与 = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④； = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③与 = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④； = 1 \* GB3 ① = 4 \* GB3 ④与 = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ 如果有组合数算，为，有重复。正确的算法应该为 我们可以发现，在本例中，第一类为非平均分组，组合数算的结果就是正确结果。第二类为平均分组，必须用组合数除以按组数的全排列才能得到正确结果。 二、典例 例1 （1）6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种分法 （2）6本不同的书，分给甲乙丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的分法 解析：（1）为不平均分组问题，结果为 （2）为不平均分组下的分配问题，分配问题最终是要排序的。如下 例2 （1）6本不同的书，分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种分法 （2）6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种分法 解析：（1）为平均分组下的分配问题，分配问题最终要排序。所以应该先取好元素分好组，然后再排序。 第一步：分三组。因为平均分组有重复，因此要除以按组数的全排列才为正确分组。即 第二步：把分好的组，再分配给三人，所以进行全排列即可。因此为 答案就是90。平均分组自动暗含了分组加排序两个步骤，也就是分组完成同时排序也完成，因此，像这类题，我们可以直接用即可 （2）单纯的平均分组。因此算出正确的分组情况即可。为 例3 （部分平均分组问题）6本不同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法。 解析：本质上是个分配问题，最后肯定要排序。 显然有三类情况，如下 （1）114型，即一人一本，再一本也分一本，最后一人分四本。先分组为。这里解释下分母。这里把书分三组，其中有两种都是一本书，本数相同，因此这两组为平均分组，会产生重复，所以要除以这两组的全排列，即；也就是部分平均分组，有几组是平均分的，为避免重复，就得去除这几组的全排列。分组分好了，再排序即可，分给三人即为 （2）123型。为不平均分组，结果为 （3）222型。为全平均分组，分组完成同时排序也完成，故结果为 因此共计有90+360+90=540种分法