考点07函数与数学模型（2种题型）（解析版）.docxVIP

考点07函数与数学模型（2种题型） 【课程安排细目表】 真题抢先刷，考向提前知 二、考点清单 三、题型方法 四. 刷常考 一 一、 真题抢先刷，考向提前知 一．填空题（共1小题） 1．（2022?上海）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 　1　． 【分析】由题意，利用奇函数的定义可得 f（﹣x）＝﹣f（x），故有 f（﹣1）＝﹣f（1），由此求得a的值． 【解答】解：∵函数f（x）＝，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）， ∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1． 当a＝0时，f（x）＝，不是奇函数，故a≠0； 当a＝1时，f（x）＝，是奇函数，故满足条件， 综上，a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题． 二．解答题（共6小题） 2．（2023?上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S＝，其中F0为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0为建筑物的体积（单位：立方米）． （1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R，高度为H，暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建筑体的“体形系数”S；（结果用含R、H的代数式表示） （2）定义建筑物的“形状因子”为f＝，其中A为建筑物底面面积，L为建筑物底面周长，又定义T为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）．设n为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为S＝+．当f＝18，T＝10000时，试求当该宿舍楼的层数n为多少时，“体形系数”S最小． 【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中S的定义求解即可； （2）利用导函数求S的单调性，即可求出S最小时n的值． 【解答】解：（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ， 所以． （2）由题意可得S＝+＝+，n∈N*， 所以S′＝﹣＝， 令S′＝0，解得n＝≈6.27， 所以S在[1，6.27]单调递减，在[6.27，+∞）单调递增， 所以S的最小值在n＝6或7取得， 当n＝6时，S＝≈0.31， 当n＝7时，S＝0.16， 所以在n＝6时，该建筑体S最小． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 3．（2021?上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【分析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项a1＝1.1，公差d＝0.05，再利用等差数列的前n项和公式求解即可． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%，则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%，令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*），递推作差可得当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增，注意到f（1）＜0，所以若f（n）＞0，则只需考虑n≥10的情况即可，再验证出f（24）＜0，f（25）＞0，即可得到利润首次超过该季度营业额的18%的时间． 解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润与该季度营业额的比为an，则＝＝1+0.04（1﹣），所以数列{an}满足a1＞a2＞a3＞a4＝a5＜a6＜a7＜……，再由a25，a26的值即可判断出结果． 【解答】解：（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项a1＝1.1，公差d＝0.05， ∴S20＝20a1+d＝20×1.1+10×19×0.05＝31.5， 即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）解法一：假设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16×（1+4%）n＞（1.1+0.05n）?18%， 令f（n）＝0.16×（1+4%）n﹣（1.1+0.05n）?18%，（n∈N*）， 即要解f（n）＞0， 则当n≥2时，f（n）﹣f（n﹣1）＝0.0064?（1+4%）n﹣1﹣0.009， 令f（n）﹣f（n﹣1）＞0，解得：n≥10， 即当1≤n≤9时，f（n）递减；当n≥10时，f（n）递增， 由于f（1）＜0，因此f（n）＞0的解只能在n≥10时取得， 经检验，f（24）＜0，f（25）＞0， 所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 解法二：设今年第一季度往后的第n（n∈N*）季度的利润与该季度营业额的比为an， 则＝＝1.04﹣＝1+0.04（1﹣）， ∴数列{an}满足a1