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考点08平面向量及其应用(12种题型6个易错考点)
【课程安排细目表】
真题抢先刷,考向提前知
二、考点清单
三、题型方法
四、易错分析
五.刷压轴
一
一、 真题抢先刷,考向提前知
一.选择题(共1小题)
1.(2021?上海)在△ABC中,D为BC中点,E为AD中点,则以下结论:①存在△ABC,使得=0;②存在△ABC,使得∥(+);它们的成立情况是( )
A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立
C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立
二.填空题(共9小题)
2.(2023?上海)已知向量=(3,4),=(1,2),则﹣2= .
3.(2021?上海)如图正方形ABCD的边长为3,求?= .
4.(2023?上海)已知向量=(﹣2,3),=(1,2),则?= .
5.(2020?上海)三角形ABC中,D是BC中点,AB=2,BC=3,AC=4,则= .
6.(2022?上海)若平面向量||=||=||=λ,且满足?=0,?=2,?=1,则λ= .
7.(2022?上海)在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,点M为边AB的中点,点P在边BC上,则?的最小值为 .
8.(2020?上海)已知,,,,…,(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量,满足||=1,且|﹣|∈{1,2}(其中i=1,2,j=1,2,…,k),则k的最大值是 .
9.(2020?上海)已知A1、A2、A3、A4、A5五个点,满足=0(n=1,2,3),||?||=n+1(n=1,2,3),则||的最小值为 .
10.(2023?上海)已知、、为空间中三组单位向量,且⊥、⊥,与夹角为60°,点P为空间任意一点,且||=1,满足|?|≤|?|≤|?|,则|?|最大值为 .
二
二、考点清单
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|=|λ||a|,当λ0时,λa与a的方向相同;
当λ0时,λa与 a的方向相反;
当λ=0时,λ a=0
λ(μ a)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μ_a;
λ(a+b)=λa+λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.
4.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
λa=(λx1,λy1),|a|=eq \r(xeq \o\al(2,1)+yeq \o\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标;
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq \o(AB,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1),
|eq \o(AB,\s\up6(→))|=eq \r((x2-x1)2+(y2-y1)2).
6.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a∥b?x1y2-x2y1=0.
7.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a和b,作eq \o(OA,\s\up6(→))=a,eq \o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.
(2)范围:设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.
(3)共线与垂直:若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.
8.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积,记作a·b
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