08数1《近世代数》期中试卷.doc

PAGE PAGE 1 《近世代数》期中试卷 一、判断题（每小题2分，共16分. 正确的打√，错误的打×） 1．（ ）无限集合A和它的幂集合P(A)之间可能存在着双射. 2．（ ）两个满射的合成仍为满射. 3．（ ）若交换群G存在最大阶元素，则G的所有元素的阶均是的因数. 4．（ ）对于群G的三个子集合A,B,C,总有A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). 5．（ ）任何群均与其商群同态. 6．（ ）群G到群的同态映射把单位元素映射到单位元素. 二、选择题（每小题2分，共20分） 1．下列 的法则为X到Y的映射. A. X为有理数集合，Y为实数集合. 法则； B. X={1,2,3},Y={2,4,8,16}. 法则； C. X=Y均为有理数集合，法则； D. X=Mn（F），Y={0,1,2,…,n}，法则的秩. 2. X是自然数集合. 下列X的代数运算中 不满足结合律. ； B. ； ； D. . 3. M是非零有理数集合，代数运算为通常的乘法. 下列映射 是M的自同构映射： ； B.； C. ； D.. 4．30阶循环群的生成元个数是 . A. 9 ; B. 4; C. 15; D. 8 5．群G中下列元素中，除了 外，其他元素的阶一定相同. A.； B.； C.； D.. 6．设H为群G的非空子集合，则下列条件中 不能作为H是G的子群的充要条件. ； B. ； C. H关于G的运算封闭； D. . 7．设H为有限群G的子群，，下列结论不一定正确的是 . A. ≤G； B. ≌H； C. ； D. 整除. 8．设H, K为有限群G的子群. 则条件 不是HK≤G的充分条件. HK=KH； B. H是G的正规子群； C. K是G的正规子群； D. . 三、填空题（每小题2分，共10分） 1．一般线性群GLn(F)的中心为 . 2．设n为一个正整数，则n阶循环群均与 同构；无限循环群均与 同构. 3．当n≥5时，Sn的非平凡正规子群只有 . 四、计算证明题：（每小题7分，共14分） 1．设有置换. (1) 求； (2) 确定置换的奇偶性. 2．设G为群，为素数，不整除m. 又设H和K均为G的阶子群，K ? H . 证明：KH不是G的子群. 3．设H和K是群G的两个正规子群，且二者的交为{e}. 证明：H和K的元素相乘时必可交换. 4．证明：实数加群R不能与实数乘群R*同构.