重难点突破03 三角形中的范围与最值问题（十七大题型）（解析版）.docxVIP

重难点突破03 三角形中的范围与最值问题 目录 1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 2、解三角形中的范围与最值问题常见题型： （1）求角的最值； （2）求边和周长的最值及范围； （3）求面积的最值和范围． 题型一：周长问题 例1．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若为锐角三角形，，求周长范围． 【解析】（1）在中，由射影定理得， 则题述条件化简为， 由余弦定理得． 可得?????????????????? 所以. （2）在中， 由正弦定理得， 则周长， 因为，则， 因为为锐角三角形，， 则得， 故． 例2．（2023·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习）在锐角△ABC中，，， （1）求角A； （2）求△ABC的周长l的范围. 【解析】（1）∵， ， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， ，所以. （2）， 所以,所以，， 所以 因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得， 所以，所以， 所以. 例3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______ (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围． 【解析】（1）选①，由可得， ，则，可得，； 选②，由可得， 即，即， ，则，故，； 选③，由及正弦定理可得， 、，则，所以，， 故， ，，因此，. （2）由正弦定理可得，则，， ， 因为为锐角三角形，则，可得， 所以，，则， 故. 变式1．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求周长的范围. 【解析】（1）由正弦定理得：， ，， ， ，，，. （2）由正弦定理：，则，， ，， 周长为 ， 又锐角，，结合 ，，，，即周长的范围是. 变式2．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． (1)求角A的大小； (2)求周长的范围． 【解析】（1）由余弦定理，即， 所以，因为，所以． （2）由正弦定理：，则，， 由（1），故 因为，则， 所以，即周长范围是． 题型二：面积问题 例4．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，． (1)求角A的值； (2)若，求面积的范围． 【解析】(1)∵，，， ∴ ． 又，∴．又为锐角三角形， ∴或 ∴或（舍去），∴． (2)由正弦定理知， 又∵，，∴， ∴． 故得到：，∴， ∴面积的范围为 例5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四边形内种植了两种花卉，其中区域内种植兰花，区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界，， ． （1）求观赏小道BD的长及种植区域的面积； （2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形）的面积最大，并求出这个面积的最大值． 【解析】（1）设，则由余弦定理得， ． 由四边形是圆内接四边形得， 故，即， 解得（负值舍去），即． 从而，所以，， 故． 答：观赏小道BD的长为，种植区域的面积为． （2）由（1）及“同弧所对的圆周角相等”得． 设，， 则． 在中，由余弦定理有 ， 故（当且仅当时等号成立）． 而， 因此，种植区域改造后的新区域的面积的最大值为． 答：当为等边三角形时，新区域的面积最大，最大值为． 例6．（2023·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中）在①a＝2，②a＝b＝2，③b＝c＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积的值（或最大值）．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三边a，b，c与面积S满足关系式：，且______，求△ABC的面积的值（或最大值）． 【解析】∵， ∴， ∵，∴， 选择条件①：当a＝2时，根据余弦定理，，∴， ∵， ∴（当且仅当b＝c时取等）， ∴； 选择条件②