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PAGE PAGE 7 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分. 1、设A＝B＝R(实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ ) A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有（ ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是( )乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的（两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（ ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（ ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。 1、设集合；，则有--—--———-。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的--—--———. 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换,则称R是一个-——--—。 4、偶数环是—-—-———-—的子环。 5、一个集合A的若干个—-变换的乘法作成的群叫做A的一个--———--—。 6、每一个有限群都有与一个置换群--—————-。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是,元a的逆元是————--—. 8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么—-—。 9、一个除环的中心是一个——-—。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积.2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 3、设集合，定义中运算“为ab=（a+b)（modm），则(，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分,第2小题15分,共25分） 1、设是群.证明:如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 近世代数模拟试题二 单项选择题 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群. A、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统（G，＊）中，( )不是群 A、G为整数集合，＊为加法 B、G为偶数集合，＊为加法 C、G为有理数集合,＊为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？( ） A、a*b=a-b　　B、a＊b=max{a，b｝ C、 a*b=a+2b D、a*b=｜a-b｜ 4、设、、是三个置换,其中=（12）（23）(13)，=(24）（14），=（1324）,则=（ ） A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群　　B、不一定是群　 C、一定是群 　D、 是交换群 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个———-———-—-同构。 2、一个有单位元的无零因子—--—-称为整环。 3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于—--———。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--——-—-同构。 5、A=｛1。2。3} B={2。5.6｝ 那么A∩B=———--. 6、若映射既是单射又是满射，则称为-——--—-—--———-。 7、叫做域的一个代数元,如果存在的——使得. 8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为———-—-—-—。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭;结合律成立、—-————。 10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-—-——--—-—. 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分) 1、设集合A=｛1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群,H={I,(1 2）｝,写出H的所有陪集. 2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E,)是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？ 3、a=493, b=391， 求（a,b)， [a,b] 和