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第四章线性模型第一页，共二十八页，2022年，8月28日 平稳时间序列几个重要的平稳过程和模型白噪声过程MA过程AR过程ARMA过程第二页，共二十八页，2022年，8月28日 白噪声1） ?t独立同分布称为独立白噪声，记为{?t}~I.I.D(0, ?2) ■ 如果?t还服从正态分布，则该过程{?t}~称为为高斯白噪声。第三页，共二十八页，2022年，8月28日 白噪声2）弱白噪声随机过程满足a）E(?t)=0 ， 对所有tb）E(?t2)=?2 对所有tc）E(?t?s)=0, 对任意t?s，或Cov(?t, ?s)=0简称白噪声。记为{?t}~WN(0, ?2) 第四页，共二十八页，2022年，8月28日 4.1线性时间序列线性时间序列{Yt} : 如果它能表示成当前和过去白噪声序列的加权线性组合，即这里， 为白噪声. -时刻t的新信息(innovation)(4.1)称为 的 权重(4.1)有意义要求：第五页，共二十八页，2022年，8月28日 所以 必须是收敛序列，即当 时通常，我们取 其中 则从而有(4.1.1)(4.1.1) 是平稳过程第六页，共二十八页，2022年，8月28日 的间隔为 的自协方差为对于一般线性过程类似地有对第七页，共二十八页，2022年，8月28日 因此， 权重与 的自相关系数有如下关系：其中，对若平稳序列而言， 当 时从而随着 的增加 收敛到0第八页，共二十八页，2022年，8月28日 4.2 滑动平均模型滑动平均模型介绍当（4.1）仅仅有有限个 权重为非零时，我们称之为滑动平均过程，即（4.2）我们称(4.2)为 MA(q)模型或者q阶滑动平均模型.其中?t 是白噪声过程. 这里，?和?i, i=1,2,…q称为参数或系数。注：?q?0 第九页，共二十八页，2022年，8月28日 滑动平均模型 1-阶滑动平均模型 其中?t 是白噪声过程.（4.2-1）?和?为参数或系数。表达式（4.2-1）是1－阶滑动平均模型，用MA（1）表示例如rt=0.1+?t＋0.3 ?t－1第十页，共二十八页，2022年，8月28日 MA(1)另一种表达方式本质是一个只包括常数项的回归模型，但残差存在自相关。容易知道MA(1)存在一阶自相关。第十一页，共二十八页，2022年，8月28日 q-阶滑动平均模型和过程判断下面是几阶MA模型 a) Yt=0.1+?t＋0.2 ?t－1 ＋0.1 ?t－2 b) Yt=0.1+?t＋0.3 ?t－1 ＋ 0.21 ?t－2 －0.1 ?t－3 c) Yt=0.1+?t＋0.3 ?t－4第十二页，共二十八页，2022年，8月28日 4.2-2 MA模型的性质MA(1)模型MA(q)模型第十三页，共二十八页，2022年，8月28日 自相关函数MA(1)模型：为简单起见，假定对两端乘以 ，我们有当 时，注意到我们有MA(1)模型在间隔为1以后的是截尾的第十四页，共二十八页，2022年，8月28日 MA(2)模型自协方差函数自相关系数是MA(2)模型在间隔为2以后的是截尾的第十五页，共二十八页，2022年，8月28日 MA(q)模型自相关系数MA(q)模型在间隔为q步以后的是截尾的，MA(q)模型具有有限记忆性第十六页，共二十八页，2022年，8月28日 MA过程ACF图基本结论MA(q)过程的自相关函数q步截尾第十七页，共二十八页，2022年，8月28日 练习题P59. 4.19P59. 4.20P58. 4.4P58. 4.1P58. 4.25. 计算 的自相关函数。第十八页，共二十八页，2022年，8月28日 作业1.证明 MA(q)过程自相关函数应满足的关系式.3. 4.12 (a)2. P59 4.14第十九页，共二十八页，2022年，8月28日 4.3 自回归模型 其中 {?t }是白噪声过程。 ， 表达式(4.3)是P-阶自回归模型 {rt }为p-阶自回归过程 ,表示为AR(p) 是未知参数或系数。(4.3)自回归模型是用自身做回归变量第二十页，共二十八页，2022年，8月28日 AR(1)过程（4.3-1）因方差非负，要求（4.3-1）定义的AR（1）模型是平稳的充分必要条件是在平稳性条件下注意到 与 独立，（4.3-2）第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日 AR(1)模型的自相关函数 进一步有递推式：因 ，故这个性质表明弱平