浅议三角形解的个数.docx

浅议三角形解的个数 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边 和其中一边的对角（锐角）时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学依旧茫然。下面通过自己的教学经验，从几何和代数两个 方面来阐述下三角形解的个数问题，希望能帮助同学们顺利破解。 几何法：为了学生更好的掌握这个题型：在△ABC 中，已知A（锐角）， b,c，问三角形解的个数。特强调了，角的对高，对边，邻边三个名词。如图（角 A）对高：CD(bsinA)，对边：BC（a），邻边：AC（b）。以 C 点为圆心，a 为半径（a 的值从小到大）画弧，分别与线段 AB 出现无交点，一个交点，两个交点，一个交点的情况。 无解：bsinAa 一解：bsinA =a 两解：bsinA ab 一解：a≥b 例 1：在△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝ 3λ(λ0)，A＝45°， 则满足此条件的三角形个数是( ) 6A．0 B．1 C．2 D．无数个 6 解：bsinA= 3λsin45°= 2 λλ=a,(λ0)，无解。答案：A 练习 1：在△ABC 中, 已知 a=20, b=40,A=60°, 则此三角形的解为 ( ) A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D.解的个数不确定代数法：1.在正弦定理中用三角函数值的有界性和大角对大边 在已知△ABC 中的边长a，b 和角A，且已知a，b 的大小关系，常利用正弦定理求解， 先利用三角函数的有界性来判断，再结合“大边对大角”来△判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值。 上例：在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且 a＝λ，b＝ 3λ(λ0)，A＝45°， 则满足此条件的三角形个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．无数个 另解：直接根据正弦定理可得 a  b bsin A 3λsin 45° 6 sin B＝ sin B sin A ，可得 ＝ sin B a ＝ λ ＝ 2 1，没 32有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 答案：A 3 2 例 2：在△ABC 中，已知a ? 解：由正弦定理，得 ， b ? ，B=45°，求 A、C 及 c。 sin A ? a sin B ? 3 sin 45? ? 23b 2 2 3 因为 B=45°90°，ba，所以 A=60°或 120°。 当 A=60°时，C=75°， 2c ? b sin C ? 2 sin 75? ? 6 ? 2 sin B sin 45? 2 ； 当 A=120°时，C=15°， 262c ? b sin C ? sin 15? ? ? 2 6 2 sin B sin 45? 2 。 点评：在三角形中， a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。 2.在余弦定理中用二次方程的正根个数 一般地，在△ABC 中，已知 a，b 和角 A，常常可对角 A 应用余弦定理，并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c2－2bccosA+ b2－a2=0，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无 解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。 例 3：△ABC 中，B＝120°，AC＝7， AB＝5，求 BC 的长 解：由余弦定理得 49＝25＋BC2－10BCcos 120°，整理得：BC2＋5BC－24＝0，解得,BC=3 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上 述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷。补充练习： 在? ABC 中，已知 a=80，b=100，∠A=45°，试判断此三角形的解的情况。 在? 1 ABC 中，若 a=1，C=2，∠C=40°，则符合题意的 b 的值有 个。 在? ABC 中，a=xcm， b=2cm，∠B=45°，如果解三角形有两解，求 x 的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x 2 3 ） 邢国亮 2014-11-12