多元统计检验.ppt

多元统计检验;例:表1－1 12名学生5门课程的考试成绩;如果仅用一元统计方法作成绩分析，每次分析处理一门课程的成绩，由于忽视了课程之间可能存在的相关性，因此，一般说来，丢失的信息太多，分析的结果不能全面反映全年级的学习情况。 需要研究很多问题：用各科成绩的总和作为综合指标，来比较学生学习成绩的好坏；根据各科成绩相近程度对学生进行分类（如成绩好的和成绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好的）；研究各科成绩之间的相关关系（如物理与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩的关系等）； ——都属于多元统计分析的研究内容。;多元分析是以p个变量的n次观测数据所组成的数据矩阵 为依据，对p维总体 进行统计推断的。; 英国著名统计学家肯德尔（Kendall）在《多元分析》一书中把多元统计分析的研究内容和方法概括为以下几个方面： 简化数据结构（降维问题） 将复杂的数据结构通过变量代换等方式使相互依赖的变量（较多）变成（较少）互不相关的；或把高维空间的数据投影到低维空间，使问题简化而损失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一类方法；;分类与判别（归类问题） 对所考察的观测点（变量）按相似程度进行分类（或归类）。如聚类分析、判别分析等； 变量间的相互联系 相互依赖关系：分析一个变量或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化？如果是，建立变量间的定量关系式，并用于预测或控制——回归分析； 变量间的相互关系：分析两组变量间的相互关系——典型相关关系。 参数估计与假设检验 检验由多元总体参数表示的某种统计假设，据此证实假设条件的合理性。 ; 多元统计分析的应用; 样本与常用统计量;对总体进行n次独立的观察（抽样）得到观测数据称为样本，每个称为样品，记为 矩阵 X称为原始数据矩阵或（多元）样本数据矩阵。;总体的均值向量、协方差矩阵、相关矩阵分别为 其中;常用统计量; 其中 是一元统计中样本统计量的自然推广。 对于i, j= 1,2,…,p, 有：;讲解例7.1(P270);定义7.1: ???果样品 的函数,满足 1） 2） 3） 则称是样品之间的距离。;常用的距离;马氏距离 定义： 为样品之间的马氏距离； 为样品到总体的马氏距离。 其中:μ,V分别是总体G的均值向量和协方差。 离差大的分量在距离中相应削弱它的影响程度。 不足之处:马氏距离与测量单位无关,夸大了变化微小的变量的作用。;B－模距离 对于给定的正定矩阵B,定义 为样品Xi与Xj之间的B－模距离； 闵可夫斯基距离 为样品Xi与Xj之间的闵可夫斯基距离 q=2时为欧氏距离, q=1时为绝对距离, q=+∞时为切比雪夫距离。 ;7.2 多元正态分布的参数估计与检验 7.2.1 预备知识;多元正态分布的定义： 设 其中 是相互独立的标准正态随机变量，则称 为p维正态随机向量，记为 其中 是常向量，A是p×n的常数矩阵。 特别;基本性质;设 是总体X的样本，样本数据矩阵如前。 由样本得到关于未知参数 的似然函数为;主要结论 ;（3）（引理7.3） 设 是总体 的样本，则样本均值 （4）（引理7.4） 设 ，令 则 证明：（见P277） ;7.2.2 参数μ和V的估计 ;定理7.2 :设条件同前，则 1） 分别是μ和V的无偏估计； 2）分别是μ和V的最小方差无偏估计； 3）分别是μ和V的相合估计； 定理7.3 :设条件同前，则 是R的极大似然估计和相合估计。 例7.3 (P280);7.2.3 参数μ的检验 ;（1）当V已知时 回顾，p = 1时 当假设为真时， 。 为推广至多元，改写为;类比引入统计量 由引理7.4知，当 为真时， 当 为假时，D将会变大。因此，给定显著性水平α，假设的拒绝域为;（2）当V未知时 用S取代V, 可以证明，当 为真时 统计量 因此，假设的拒绝域为; （二）两个总体 情形;当V已知时，统计量 当假设为真时， 给定α，假设的拒绝域为