第三章解线性方程组的直接法.pptVIP

第三章解线性方程组的直接法;§3.1 基础知识;§3.1.1 引言;其中;第五页，共九十三页，2022年，8月28日;矩阵特征向量与谱半径;第七页，共九十三页，2022年，8月28日;第八页，共九十三页，2022年，8月28日;第九页，共九十三页，2022年，8月28日;第十页，共九十三页，2022年，8月28日;第十一页，共九十三页，2022年，8月28日;§3.1.3 对称正定矩阵;第十三页，共九十三页，2022年，8月28日;§3.1.4 正交矩阵与初等矩阵;第十五页，共九十三页，2022年，8月28日;第十六页，共九十三页，2022年，8月28日;第十七页，共九十三页，2022年，8月28日;第十八页，共九十三页，2022年，8月28日;§3.2 Gauss消去法;§3.2.1 Gauss顺序消去法;第二十一页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十二页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十三页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十四页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十五页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十六页，共九十三页，2022年，8月28日;第二十七页，共九十三页，2022年，8月28日;§3.2.2消去法与矩阵三角分解;§3.2.3 列主元消去法;选主元素的矩阵表示也称初等置换矩阵;§3.3 直接三角分解法;§3.3.1 Doolittle分解法;第三十三页，共九十三页，2022年，8月28日;第三十四页，共九十三页，2022年，8月28日;第三十五页，共九十三页，2022年，8月28日;第三十六页，共九十三页，2022年，8月28日;§3.3.2 Cholesky分解与平方根法;;利用Cholesky分解将AX=b转化为;例 用平方根法解方程组;§3.3.3 三对角方程组的追赶法;第四十二页，共九十三页，2022年，8月28日;下面举实例用追赶法来解三对角方程组。 ;第四十四页，共九十三页，2022年，8月28日;追赶法计算量：5n-4次乘法，o(n),计算量小； 稳定性：普半径小于1，稳定。 ;直接解法的Ｍatlab求解;例1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; x=A\b;2．利用矩阵的分解求解线性方程组 矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。;;例2 用LU分解求解例题中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式，命令如下： [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b); (2) QR分解 对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为： [Q,R]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。 [Q,R,E]=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。 实现QR分解后，线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或x=E(R\(Q\b))。;例3 用QR分解求解例题中的线性方程组。 命令如下： A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式，命令如下： [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b)); (3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=RR。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为： R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使RR=X。若X为非对称正定，则输出一个出错信息。 [R,p]=chol(X)：这个命令格式将不输出出错信息。当X为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。如果X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。 实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b，所以x=R\(R’\b)。;例4 用Chole