多元函数的极值课件.pptxVIP

多元函数的极值(Absolute maximum and minmum values) ABCD 1.二元函数极值的定义一、二元函数极值 (1)(2)(3)例1例２例３ 2.多元函数取得极值的条件证 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点不一定是极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意： 例1.求函数 的极值 求最值的一般方法： 1）将函数在D内的所有驻点处的函数值 2）求D的边界上的最大值和最小值 3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3.多元函数的最值 例 某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为此水箱的用料面积 时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x0,y0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。 二、条件极值拉格朗日乘数(Lagrange)条件极值：对自变量有附加条件的极值．无条件极值：对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值．无条件极值可根据前面的方法求定义域上的极值．条件极值可化为无条件极值来计算，比如前面的例子(Conditional extremum) 条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算设目标函数为 约束函数为 则有 解之，消去 求其可数极值点，再由充分条件研究。 例4.求函数 在方程 约束下的最大 值与最小值。 解：构造拉格朗日函数 由（1）得 或 代入（3）当 时， 代入（2）当 时， 再代回（3），得 ，可得可数极值点（四个）分别是： 再由充分条件，列表讨论之。 多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值 小结