高中数学 基础_知识讲解_空间向量及其线性运算(理）126.docVIP

空间向量的数量积 【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。 2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。 3. 能用向量的数量积判断向量的垂直． 【要点梳理】 要点一、空间向量的数量积 1．两个向量的数量积． 已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b， 即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉． 要点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 2.空间向量数量积的性质 设是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 3．空间向量的数量积满足如下运算律： （1）（a）·b=（a·b）； （2）a·b=b·a（交换律）； （3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）． 要点诠释： 对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量， 若不能得出，即向量不能约分． （2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算． （3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c， 有，向量的数量积不满足结合律． 要点二、 空间两个向量的夹角． 定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量a与 b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉， 那么空间两个向量a、b的夹角的余弦。 要点诠释： 1. 规定： 2. 特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向； 如果，那么与垂直，记作。 利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 要点三、空间向量的长度。 定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地a·a=|a|·|a|cos0°=|a|2，所以向量a的模： 。 将其推广：； 。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用|a|2=a2来求解。 要点四、空间向量的垂直。 若，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b． 根据数量积的定义：⊥?·＝0 要点诠释： ⊥?·＝0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 【典型例题】 类型一：空间向量的数量积 例1．已知向量，向量与的夹角都是，且， 试求：（1）；（2）． 【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。 【解析】∵向量，向量与的夹角都是，且， ∴ （1）； （（2）=＝0--8+18= 【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。 举一反三： 【变式】已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____. 【答案】（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。 例2、 如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积． （1）；（2）；（3）；（4）． 【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。 【解析】 在空间四边形ABCD中， （1）∵，，∴． （2）∵，，， ∴． （3）∵，，又，∴． ∴． （4）∵，，， ∴，∴． 【总结升华】 求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a·b=|a| |b|cos〈a，b〉即可顺利计算． 举一反三： 【变式】已知在长方体ABCD—AB1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积： （1）；（2）． 【答案】 (1) (2) 类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角． 例3． 在棱长为a的正方体ABCD—A1