高中数学 知识讲解_ 不等式的全章复习与巩固_提高.docVIP

《不等式》全章复习与巩固 【学习目标】 1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质； 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力； 3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式； 4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决； 5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】 不等式 不等式 不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域 基本不等式 最大（小）值问题 简单的线性规划 【要点梳理】 要点一：不等式的主要性质 (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则：； (4)乘法法则：； ， (5) 乘方法则： (6) 开方法则： 要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系 一元二次不等式或的解集： 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： （2）计算判别式，分析不等式的解的情况： ①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）写出解集. 要点诠释：若，可以转化为的情形解决. 要点三：线性规划 用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答． 要点四：基本不等式 两个重要不等式 ①，那么（当且仅当时取等号“=”）； ②基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：称为的算术平均数； 几何平均数：称为的几何平均数； 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用 ,且（定值），那么当时，有最小值； ,且（定值），那么当时，有最大值. 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式： ①（当且仅当a=b时等号成立）； ②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）； ③；特别地：； ④ . 【典型例题】 类型一：不等式的性质 例1．若为实数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若或，则 D. 若或，则 【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断. 【解析】若，则同号. 当时，由得； 当时，由得. 所以A项正确，B项错误. 由得，即，所以或 同理，由得或 显然C项不正确. 同理D项也不正确. 【总结升华】解答此类问题应注意一下几个方面： （1）准确理解不等式的性质； （2）掌握作差法比较大小这种最基本的方法； （3）了解符号的运算规律； （4）灵活利用特殊数值对结论进行检验. 举一反三： 【变式1】已知求证。 【答案】因为，所