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有理数及其运算 复习材料
一、知识梳理:
⑴正数与负数:负数产生的必要性;具有相反意义的量。
⑵有理数的分类:整数、分数统称有理数;整数又包括正整数、零、负整数,分数又包括正分数与负分数。
⑶相反数、倒数、绝对值:
只有符号不同的两个数是互为相反数,a的相反数为-a;
一个数除以1所得的商是这个数的倒数,零没有倒数;
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。
⑷数轴:原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
⑸有理数的大小比较:
方法一:零大于一切正数,而小于一切负数;两个负数,绝对值大的反而小。
方法二:在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
⑹代数和:
把有理数的加、减运算统一写成加法形式,成为几个有理数的和,通常称为代数和;省略加号的和的形式。
⑺去括号与添括号:
去括号法则:括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉,括号内各项都不变;括号前是“-”号时,将括号连同它前边的“-”去掉,括号内各项都要变号。
添括号法则:在“+”号后边添括号,括到括号内的各项都不变;在“-”号后边添括号,括到括号内的各项都要变号。
⑻乘方:求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的给果叫做幂。
= 9 \* GB2 ⑼有理数的运算法则
①:有理数的加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0;
一个数同0相加,仍得这个数。
②有理数的减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
减去一个数等于加上这个数的相反数,引入相反数后,加减运算可以统一为加法运算。
减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数,用字母表示为:
在此过程中有两个转化必须同时进行,即当把减号变为加号时,减数必须变为原来的相反数。
有理数的减法
由
得到有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数,即
③有理数的乘法法则:
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。乘积为1的两个数互为倒数,用符号表示为:的倒数为(a≠0)
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数与零相乘都得零;
几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个数,积为负;当负因数的个数为偶数个时,积为正;
几个有理数相乘,若其中有一个为零,积就为零。
④有理数的除法法则:
法则一:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;
法则二:除以一个数等于乘以这个数的倒数。
有理数的乘方:
正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
有理数的运算顺序:
先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,则先算括号内,再算括号外。
运算律:
①加法的交换律: ②加法的结合律:
③乘法的交换律:
注意:(1),当用字母表示乘数时,“×”可以写成“·”或省略。
(2)这里、代表任意有理数,可以表示正数、负数或0。
④乘法的结合律:⑤乘法对加法的分配律:
注:除法没有分配律。
同号的两个数相乘,积的符号是“十”,积的绝对值是是各因数绝对值的积;
异号的两个数相乘,积的符号是“一”,积的绝对值是是各因数绝对值的积;
零乘以任何数都得零。
注意:1.式子中的字母,分别表示任意的一个有理数,也就是说它们可以表示整数,也可以表示分数,特别是既可以表示正数,也可以表示负数或0.例如
2.也要注意:在同一个式子中,同一个字母只表示同一个数。
一般规律:利用加法运算律,通常把正数、负数、互为相反数分别结合在一起运算比较简便。
绝对值的定义。
借助于数轴给出绝对值的定义,并由这个定义得出一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.运用此结论可以直接求一个数的绝对值。
一般地,数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值,记作。
注:这里可以是正数,也可以是负数和0.
代数表示(数学语言)是:字母可个有理数。
(1)当是正数时,;(2) 当是负数时,;(3)当是0时,.
数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。
一般地,一和互为相反数,特别地,0的相反数仍是0.
即,这里的表示任意一个数,也可以是负数,也可以是正数或0.规定+0=0,一0=0.
一般地,在数学中,人们用画图的方式把数“直观化”,通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴。
(1)原点:在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。
(2)正方向 通常规定直线上从原点向右(或上)
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