第八讲有限元法演示文稿.pptVIP

d）单元平衡方程 当前第30页\共有50页\编于星期三\9点 a） 建立选择矩阵： 4） 总体分析 当前第31页\共有50页\编于星期三\9点 b) 组集单元刚度矩阵 c) 组集等效节点载荷 d） 解以节点为未知量的方程组 当前第32页\共有50页\编于星期三\9点 热传导问题的有限元方法 当前第33页\共有50页\编于星期三\9点 1）傅里叶定律 热传导方程 1. 一维问题 热流密度与温度梯度成正比。 q: 单位时间、单位面积流过的热量 单位：W/(m·K) 当前第34页\共有50页\编于星期三\9点 2）平衡方程 Q=cpmΔT 比热容：cp 1千克的物质的温度上升（或下降）1摄氏度所需的能量。 单位：W·s/(kg·K) 扩散率的单位：m^2/s 当前第35页\共有50页\编于星期三\9点 第八讲有限元法演示文稿 当前第1页\共有50页\编于星期三\9点 （5）伽辽金法 简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。 更简洁的形式： 伽辽金法的一般表达式 引入变分 等效积分形式 当前第2页\共有50页\编于星期三\9点 静态线弹性有限元定解问题 真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上， 虚应变 高斯定律 张量形式 矩阵形式 8/9/2013 * 当前第3页\共有50页\编于星期三\9点 等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。 伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。 小结： 伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。 当前第4页\共有50页\编于星期三\9点 基本概念 偏微分方程和偏微分方程组： 一个未知函数及其偏导数组成的方程叫偏微分方程，两个以上未知函数及其偏导数组成的方程组叫偏微分方程组。方程组中未知函数和方程个数相等，叫封闭的偏微分方程组（或完全的）。 偏微分方程的阶和偏微分方程组的阶： 方程中偏导数的最高阶次叫偏微分方程的阶; 偏微分方程组的阶是方程组中各偏微分方程的阶数之和。 当前第5页\共有50页\编于星期三\9点 线性、非线性和拟线性偏微分方程: a) 方程中所有出现未知函数或其偏导数的项都是未知函数的一次式的方程叫线性方程 b) 未知函数项或未知函数偏导数项不是一次式的方程叫非线性方程； c) 非线性方程中所有未知函数的最高阶偏导数是一次式的方程叫拟线性方程。 当前第6页\共有50页\编于星期三\9点 齐次和非齐次偏微分方程 偏微分方程分类： Auxx+2B uxy+Cuyy+D ux+Euy +f =0 Δ（=B2 – AC） 0：双曲型，波动方程. Δ（= B2 – AC）= 0：抛物型，热传导方程. Δ（= B2 – AC） 0：椭圆型， 位势方程. 当前第7页\共有50页\编于星期三\9点 定解问题：偏微分方程+ 定解条件（边界条件+ 初始条件） a) 初值问题 n阶方程有n个初始条件，初始条件偏导数的最高阶次是n – 1. b) 边值问题 i: 第一类边界条件（Dirichlet）, ii: 第二类边界条件（Neuman）, iii: 第三类边界条件（Robin）. 当前第8页\共有50页\编于星期三\9点 偏微分方程的解 a) 解：使偏微分方程两端恒等的有定义的函数叫偏微分方程的解. b) 通解: 对于n 阶方程，未知函数有m个自变量，其通解由n个独立的满足一定可微要求的函数组成，且每个函数有m – 1个自变量. uxyz = 0, u = f1(x, y)+ f2 (x, z)+ f3 (y, z) utt –c2 uxx= 0, u = f1(x+ct)+ f2 (x– ct). c) 定解问题的解：满足边界条件和初始条件的通解. 当前第9页\共有50页\编于星期三\9点 线性叠加原理 解的存在、唯一性和稳定性 解的性质 a） 椭圆形方程的极值只能在边界达到。解在内部没有弱间断，解在边界上间断，在内部也是充分光滑的，边界条件是封闭的. b） 双曲型方程没有像椭圆形方程那样的极值原理，解在内部可以有弱间断，边界条件不是封闭的。 当前第10页\共有50页\编于星期三\9点 泛函与变分（Functional and variation） 1． 泛函函数的函数 a) 两端固定的曲线长度： b) 弹性杆的总势能： c) 温度场泛函： 式中f, u, T叫做泛函的容许函数：满足一定边界条件和连续性的所有函数 有限元法的基本原理 曲线长度 总势能 温度场泛函 当前第11页\共有50页\编于星期三\9点 变分定义 a)容许函数的变分 有限元法的基本原理 当前第12页\共有50页\编于星期三\9点