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定义3 极点（顶点）：设D是凸集, 若D中的点x 不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的极点。 设D为凸集，X∈D,若X不能用X(1)∈D,X(2)∈D两点的 一个凸组合表示为X=αX(1)+ (1-α)X(2),其中0α1 ， 则称X为D的一个极点。 定义2.凸组合：设X(1)，X(2)，…，X(k)是n维欧式空间中的k个点，若存在μ1, μ2,…, μk满足0≤μi≤1,( i=1,2,…,k), 使　X=μ1X(1)+μ2 X(2)+…μk X(k)， 则称X为X(1)，X(2)，…，X(k)的凸组合。 当前第31页\共有47页\编于星期二\8点 多边形的顶点是 凸集的极点（顶点）。 圆周上的点都是 凸集的极点（顶点）。 当前第32页\共有47页\编于星期二\8点 定义4 设D为R 中非空凸集，若对 ， ∈D ，∈(0,1)恒有 n ) 1 ( x ) 2 ( x a f [ +(1- ) ]≤ + (1- )f (*) ) 1 ( x a ) 2 ( x a ) ( ) 1 ( x f a a ) ( ) 2 ( x 则称 为D上的凸函数；进一步，若 ≠ 时，(*)式仅〝〞成立,则称为 D上严格凸函数。 ) ( x f ) 1 ( x ) 2 ( x ) ( x f 对凸的一元函数 的几何意义为：在曲线上任取两点P1(x1, ), P2(x2, )弦 位于弧 之上（见图）。 ) ( x f ) ( 1 x f (x2) f 2 1 P P 2 1 P P x1 x2 x (x, y) p1 p2 ) ( x f 当前第33页\共有47页\编于星期二\8点 最优化理论与方法概述演示文稿 当前第1页\共有47页\编于星期二\8点 优选最优化理论与方法概述 当前第2页\共有47页\编于星期二\8点 1. 最优化问题 最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最优化问题。 当前第3页\共有47页\编于星期二\8点 1.1 最优化问题的例子 例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等 的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽 的容积最大？ 解：设剪去的正方形边长为x，由题意易知，此问 题的数学模型为，　 当前第4页\共有47页\编于星期二\8点 配料 每磅配料中的营养含量 钙 蛋白质 纤维 每磅成本（元） 石灰石 谷物 大豆粉 0.380 0.00 0.00 0.001 0.09 0.02 0.002 0.50 0.08 0.0164 0.0463 0.1250 例2.（混合饲料配合）设每天需要混合饲料的批量为100磅，这份饲料必须含：至少0.8%而不超过1.2%的钙;至少22%的蛋白质;至多5%的粗纤维。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。这些配料的主要营养成分如下表所示。试以最低成本确定满足动物所需营养的最优混合饲料。 当前第5页\共有47页\编于星期二\8点 解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下: 设 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。 当前第6页\共有47页\编于星期二\8点 1.2最优化问题的数学模型 一般形式 向量形式 其中 当前第7页\共有47页\编于星期二\8点 目标函数 不等式约束 等式约束 称满足所有约束条件的向量 为可行解，或可行点，全体可行点的集合称为可行集，记为 。 若 是连续函数，则 是闭集。 当前第8页\共有47页\编于星期二\8点 在可行集中找一点 ，使目标函数 在该点取最小值，即满足：