求分段函数的值和值域洋葱数学.docxVIP

洋葱数学是一种教学方法，它通过分段函数的图像和性质来帮助学生理解和解决数学问题。下面我们来看一个关于分段函数值和值域的例子： 考虑以下分段函数： $$ f(x) = \begin{cases} x+2, x 0 \\ x^2, 0 \leq x 2 \\ \sqrt{x}, x \geq 2 \end{cases} $$ 我们可以根据定义域的不同将函数分为三个部分。 当 $x0$ 时，函数的表达式为 $f(x) = x + 2$。在这个区间内，函数的值等于输入值加上2。例如，当 $x = -3$ 时，$f(-3) = (-3) + 2 = -1$。所以对于 $x 0$，函数的值域为 $(-\infty, 2)$。 当 $0 \leq x 2$ 时，函数的表达式为 $f(x) = x^2$。在这个区间内，函数的值等于输入值的平方。例如，当 $x = 1$ 时，$f(1) = (1)^2 = 1$。所以对于 $0 \leq x 2$，函数的值域为 $[0, 4)$，即包含0但不包含4的半开区间。 当 $x \geq 2$ 时，函数的表达式为 $f(x) = \sqrt{x}$。在这个区间内，函数的值等于输入值的平方根。例如，当 $x = 3$ 时，$f(3) = \sqrt{3} \approx 1.73$。所以对于 $x \geq 2$，函数的值域为 $[2, +\infty)$，即包含2的闭区间。 综上所述，该分段函数的值域为 $(-\infty, 2) \cup [0, 4) \cup [2, +\infty)$。